関数 $y = 3\sin^2 x + \cos 2x + \cos x - 3$ について、$0 \le x < 2\pi$ の範囲における最大値と最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 3\sin^2 x + \cos 2x + \cos x - 3$ について、$0 \le x < 2\pi$ の範囲における最大値と最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形します。$\sin^2 x$ と $\cos 2x$ を $\cos x$ の式で表します。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ および $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を利用します。

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を使うと、

$y = 3(1-\cos^2 x) + 2\cos^2 x - 1 + \cos x - 3 = 3 - 3\cos^2 x + 2\cos^2 x - 1 + \cos x - 3 = -\cos^2 x + \cos x - 1$

ここで、$t = \cos x$ と置くと、$y = -t^2 + t - 1$ となります。

$0 \le x < 2\pi$ より、$-1 \le t \le 1$ です。

$y$ を $t$ について平方完成します。

$y = -(t^2 - t) - 1 = -(t^2 - t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 1 = -(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} - 1 = -(t - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4}$

$y$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $-\frac{3}{4}$ をとります。

$t = \cos x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ です。

$t = -1$ のとき最小値をとり、その値は $y = -(-1)^2 + (-1) - 1 = -1 - 1 - 1 = -3$ です。

$t = \cos x = -1$ となる $x$ は、$x = \pi$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$-\frac{3}{4}$ ($x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のとき)

最小値：$-3$ ($x = \pi$ のとき)