関数 $f(x) = \frac{\log x}{x^a}$ が与えられている。ここで、$a$ は実定数である。 (1) 関数 $f(x)$ が区間 $(0, 1]$ 上で広義積分可能である条件を求め、可能な場合は $\int_0^1 f(x) dx$ の値を求める。 (2) 関数 $f(x)$ が区間 $[1, \infty)$ 上で広義積分可能である条件を求め、可能な場合は $\int_1^\infty f(x) dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\log x}{x^a}$ が与えられている。ここで、$a$ は実定数である。

(1) 関数 $f(x)$ が区間 $(0, 1]$ 上で広義積分可能である条件を求め、可能な場合は $\int_0^1 f(x) dx$ の値を求める。

(2) 関数 $f(x)$ が区間 $[1, \infty)$ 上で広義積分可能である条件を求め、可能な場合は $\int_1^\infty f(x) dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 区間 $(0, 1]$ 上の広義積分

$x = 0$ の近くでの挙動を調べる必要がある。

まず、部分積分を用いて不定積分を計算する。

$I = \int \frac{\log x}{x^a} dx$ とする。$u = \log x$, $dv = x^{-a} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^{1-a}}{1-a}$ (ただし、$a \neq 1$) となる。

よって、

$I = \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \int \frac{x^{1-a}}{1-a} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{1}{1-a} \int x^{-a} dx = \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{1}{(1-a)^2} x^{1-a} + C$

したがって、$a \neq 1$ のとき、

$\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx = \left[ \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{x^{1-a}}{(1-a)^2} \right]_0^1 = \left( 0 - \frac{1}{(1-a)^2} \right) - \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{x^{1-a}}{(1-a)^2} \right)$.

$1 - a > 0$ すなわち $a < 1$ のとき、$\lim_{x \to 0} x^{1-a} \log x = 0$ および $\lim_{x \to 0} x^{1-a} = 0$ なので、積分は収束し、

$\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx = - \frac{1}{(1-a)^2}$.

次に、$a = 1$ のとき、

$\int \frac{\log x}{x} dx = \int \log x \, d(\log x) = \frac{1}{2} (\log x)^2 + C$.

$\int_0^1 \frac{\log x}{x} dx = \left[ \frac{1}{2} (\log x)^2 \right]_0^1 = 0 - \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} (\log x)^2 = -\infty$.

したがって、$a=1$のとき広義積分は発散する。

まとめると、広義積分 $\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx$ は、$a < 1$ のとき収束し、その値は $- \frac{1}{(1-a)^2}$ である。

(2) 区間 $[1, \infty)$ 上の広義積分

$x \to \infty$ での挙動を調べる必要がある。

$a \neq 1$ のとき、

$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^a} dx = \lim_{t \to \infty} \left[ \frac{x^{1-a}}{1-a} \log x - \frac{x^{1-a}}{(1-a)^2} \right]_1^t = \lim_{t \to \infty} \left( \frac{t^{1-a}}{1-a} \log t - \frac{t^{1-a}}{(1-a)^2} \right) - \left( 0 - \frac{1}{(1-a)^2} \right)$.

$1 - a < 0$ すなわち $a > 1$ のとき、$\lim_{t \to \infty} t^{1-a} \log t = 0$ および $\lim_{t \to \infty} t^{1-a} = 0$ なので、積分は収束し、

$\int_1^\infty \frac{\log x}{x^a} dx = \frac{1}{(1-a)^2}$.

次に、$a = 1$ のとき、

$\int_1^\infty \frac{\log x}{x} dx = \left[ \frac{1}{2} (\log x)^2 \right]_1^\infty = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} (\log t)^2 - 0 = \infty$.

したがって、$a=1$のとき広義積分は発散する。

まとめると、広義積分 $\int_1^\infty \frac{\log x}{x^a} dx$ は、$a > 1$ のとき収束し、その値は $\frac{1}{(1-a)^2} = \frac{1}{(a-1)^2}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a < 1$ のとき、広義積分 $\int_0^1 \frac{\log x}{x^a} dx$ は収束し、その値は $- \frac{1}{(1-a)^2}$ である。

(2) $a > 1$ のとき、広義積分 $\int_1^\infty \frac{\log x}{x^a} dx$ は収束し、その値は $\frac{1}{(a-1)^2}$ である。