$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x}$ を求める問題です。

## 問題81(2)

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{3x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形です。

* ロピタルの定理を使うか、もしくは $e^u$ のテイラー展開を利用します。ここではテイラー展開を使う方法を示します。

* $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + \dots$ であるから、$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$ となります。

* したがって、

$e^{2x} - 1 = 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$

* $\frac{e^{2x} - 1}{3x} = \frac{2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots}{3x} = \frac{2}{3} + \frac{4x}{2 \cdot 3} + \frac{8x^2}{6 \cdot 3} + \dots$

* $x \to 0$ とすると、$\frac{2}{3}$ 以外の項はすべて0に近づくため、極限は $\frac{2}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$

## 問題81(3)

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x^2)}{x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形です。

* ロピタルの定理を使うか、もしくは $\log(1+u)$ のテイラー展開を利用します。ここではテイラー展開を使う方法を示します。

* $\log(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \dots$ であるから、$\log(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \dots$ となります。

* $\frac{\log(1+x^2)}{x} = \frac{x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \dots}{x} = x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{3} - \dots$

* $x \to 0$ とすると、全ての項は0に近づくため、極限は 0 となります。

3. 最終的な答え

0

## 問題81(4)

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* $t = \pi - x$ とおくと、$x = \pi - t$ であり、$x \to \pi$ のとき、$t \to 0$ となります。

* $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{\pi - x} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin (\pi - t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}$

* $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ はよく知られた極限であるため、極限は 1 となります。

3. 最終的な答え

1

## 問題82(1)

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* $x=1$ を代入すると、分子は $1 - 1 - 1 + 1 = 0$、分母は $1 - 2 + 3 - 4 + 2 = 0$ となるので、不定形 $\frac{0}{0}$ です。

* 分子と分母は $(x-1)$ を因数に持つはずなので、因数分解を試みます。

* 分子: $x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x^2-1)(x-1) = (x-1)^2(x+1)$

* 分母: $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x + 2 = (x-1)(x^3 - x^2 + 2x - 2) = (x-1)(x^2(x-1) + 2(x-1)) = (x-1)^2(x^2 + 2)$

* $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^2(x+1)}{(x-1)^2(x^2+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x^2+2}$

* $x=1$ を代入すると、$\frac{1+1}{1^2+2} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$

## 問題82(2)

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 2x - 1}{x^2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* $x=0$を代入すると、$\frac{e^0 - 0 - 1}{0} = \frac{0}{0}$ となり、不定形です。ロピタルの定理を使うか、テイラー展開を用います。ここではテイラー展開を利用します。

* $e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots$ であるから、$e^{2x} - 2x - 1 = \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \dots = 2x^2 + \frac{4x^3}{3} + \dots$

* $\frac{e^{2x} - 2x - 1}{x^2} = \frac{2x^2 + \frac{4x^3}{3} + \dots}{x^2} = 2 + \frac{4x}{3} + \dots$

* $x \to 0$ とすると、2以外の項はすべて0に近づくため、極限は 2 となります。

3. 最終的な答え

2

## 問題82(3)

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - 2 + x^2}{x^4}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* $x=0$ を代入すると、$\frac{2\cos 0 - 2 + 0}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}$ となり、不定形です。

* $\cos x$ のテイラー展開を利用します。$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

* $2\cos x - 2 + x^2 = 2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \dots) - 2 + x^2 = 2 - x^2 + \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{360} + \dots - 2 + x^2 = \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{360} + \dots$

* $\frac{2\cos x - 2 + x^2}{x^4} = \frac{\frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{360} + \dots}{x^4} = \frac{1}{12} - \frac{x^2}{360} + \dots$

* $x \to 0$ とすると、$\frac{1}{12}$ 以外の項はすべて0に近づくため、極限は $\frac{1}{12}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{12}$

## 問題83(1)

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* $x \to \infty$ のとき、$\log x \to \infty$ および $x^2 \to \infty$ なので、$\frac{\infty}{\infty}$ の不定形です。

* ロピタルの定理を使うと、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2}$

* $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2} = 0$

3. 最終的な答え

0

## 問題83(2)

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* $x \to \infty$ のとき、$x^2 + 1 \to \infty$ および $xe^x \to \infty$ なので、$\frac{\infty}{\infty}$ の不定形です。

* ロピタルの定理を2回適用します。

* $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x + xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{(e^x + xe^x) + e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{2e^x + xe^x}$

* $x \to \infty$ のとき、$2e^x + xe^x \to \infty$ なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{2e^x + xe^x} = 0$

3. 最終的な答え

0

## 問題83(3)

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} x (\tan^{-1}x - \frac{\pi}{2})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* $\tan^{-1} x$ は $x \to \infty$ で $\frac{\pi}{2}$ に収束するため、$x (\tan^{-1}x - \frac{\pi}{2})$ は $\infty \cdot 0$ の不定形です。

* $t = \tan^{-1} x$ とおくと、$x = \tan t$ であり、$x \to \infty$ のとき、$t \to \frac{\pi}{2}$ となります。

* $\lim_{x \to \infty} x (\tan^{-1}x - \frac{\pi}{2}) = \lim_{t \to \frac{\pi}{2}} \tan t (t - \frac{\pi}{2})$

* $u = t - \frac{\pi}{2}$ とおくと、$t = u + \frac{\pi}{2}$ であり、$t \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$u \to 0$ となります。

* $\lim_{t \to \frac{\pi}{2}} \tan t (t - \frac{\pi}{2}) = \lim_{u \to 0} \tan (u + \frac{\pi}{2}) u = \lim_{u \to 0} (-\cot u) u = \lim_{u \to 0} -\frac{u}{\tan u}$

* $\lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{u} = 1$ より、$\lim_{u \to 0} -\frac{u}{\tan u} = -1$

3. 最終的な答え

-1