## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた極限の計算問題を解きます。具体的には、以下の5つの極限値を求めます。

(4) $\lim_{x \to 1+0} \frac{1}{x-1}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x-1}{2x+3}$

(6) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-x+1}}$

(7) $\lim_{x \to \infty} 2^{-4x}$

(8) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 7x}$

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2. 解き方の手順

**(4) $\lim_{x \to 1+0} \frac{1}{x-1}$**

$x$ が $1$ より大きい値から $1$ に近づくとき、$x-1$ は正の値をとりながら $0$ に近づきます。したがって、$\frac{1}{x-1}$ は正の無限大に発散します。

**(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x-1}{2x+3}$**

分子と分母を $x$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{5x-1}{2x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{3}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ と $\frac{3}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{3}{x}} = \frac{5-0}{2+0} = \frac{5}{2}$

**(6) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-x+1}}$**

$x$ が負の無限大に近づくことを考慮して、$x^2$ の平方根を $|x| = -x$ とします。分子と分母を $-x$ で割ります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-x+1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ と $\frac{1}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{-\sqrt{1-0+0}} = \frac{1}{-1} = -1$

**(7) $\lim_{x \to \infty} 2^{-4x}$**

$2^{-4x} = \frac{1}{2^{4x}} = \frac{1}{16^x}$

$x \to \infty$ のとき、$16^x \to \infty$ なので、$\frac{1}{16^x} \to 0$

**(8) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 7x}$**

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 7x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{7x}{\sin 7x} \cdot \frac{5x}{7x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1$、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{7x} = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 7x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{7}$

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3. 最終的な答え

(4) $\infty$

(5) $\frac{5}{2}$

(6) $-1$

(7) $0$

(8) $\frac{5}{7}$