関数 $f(x) = \left(\frac{x^2+1}{2}\right)^9$ が与えられたとき、$f'(1) + f(1)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \left(\frac{x^2+1}{2}\right)^9$ が与えられたとき、$f'(1) + f(1)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求める。次に、$f(1)$ と $f'(1)$ の値を計算し、$f'(1) + f(1)$ を計算する。

(1) $f(x)$ の微分:

$f(x) = \left(\frac{x^2+1}{2}\right)^9$ を $x$ で微分する。連鎖律（チェインルール）を用いる。

$f'(x) = 9\left(\frac{x^2+1}{2}\right)^8 \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+1}{2}\right)$

$f'(x) = 9\left(\frac{x^2+1}{2}\right)^8 \cdot \frac{2x}{2}$

$f'(x) = 9x\left(\frac{x^2+1}{2}\right)^8$

(2) $f(1)$ の計算:

$f(1) = \left(\frac{1^2+1}{2}\right)^9 = \left(\frac{2}{2}\right)^9 = 1^9 = 1$

(3) $f'(1)$ の計算:

$f'(1) = 9(1)\left(\frac{1^2+1}{2}\right)^8 = 9\left(\frac{2}{2}\right)^8 = 9(1)^8 = 9$

(4) $f'(1) + f(1)$ の計算:

$f'(1) + f(1) = 9 + 1 = 10$

3. 最終的な答え

$f'(1) + f(1) = 10$