与えられた定積分を、指定された公式を用いて計算する。 (1) $\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}} \frac{6}{\sqrt{9 - x^2}} dx$ (2) $\int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + 5} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を、指定された公式を用いて計算する。

(1) $\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}} \frac{6}{\sqrt{9 - x^2}} dx$

(2) $\int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + 5} dx$

2. 解き方の手順

(1)

積分公式 14.6:

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx = \arcsin{\frac{x}{a}} + C$

この公式を適用するために、積分を以下のように書き換えます。

$\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}} \frac{6}{\sqrt{9 - x^2}} dx = 6 \int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}} \frac{1}{\sqrt{3^2 - x^2}} dx$

$a=3$ とすると、積分は

$6 \left[ \arcsin{\frac{x}{3}} \right]_{\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = 6 \left( \arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} - \arcsin{\frac{1}{2}} \right)$

$\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{4}$

$\arcsin{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6}$

したがって、

$6 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right) = 6 \left( \frac{3\pi - 2\pi}{12} \right) = 6 \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{\pi}{2}$

(2)

積分公式 19.1:

$\int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \operatorname{arcsinh}{\frac{x}{a}} + C$

または、公式 16.2を使用することもできます。

$\int \sqrt{x^2 + a^2} dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \log(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C$

$a^2 = 5$ なので、$a = \sqrt{5}$。

$\int_{0}^{2} \sqrt{x^2 + 5} dx = \left[ \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + 5} + \frac{5}{2} \log(x + \sqrt{x^2 + 5}) \right]_{0}^{2}$

$= \left( \frac{2}{2} \sqrt{4 + 5} + \frac{5}{2} \log(2 + \sqrt{4 + 5}) \right) - \left( 0 + \frac{5}{2} \log(\sqrt{5}) \right)$

$= \sqrt{9} + \frac{5}{2} \log(2 + \sqrt{9}) - \frac{5}{2} \log(\sqrt{5})$

$= 3 + \frac{5}{2} \log(2 + 3) - \frac{5}{2} \log(\sqrt{5})$

$= 3 + \frac{5}{2} \log(5) - \frac{5}{2} \log(5^{\frac{1}{2}})$

$= 3 + \frac{5}{2} \log(5) - \frac{5}{4} \log(5)$

$= 3 + \frac{10}{4} \log(5) - \frac{5}{4} \log(5)$

$= 3 + \frac{5}{4} \log(5)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2}$

(2) $3 + \frac{5}{4} \log(5)$