関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続となるように、$a$ の値を求めよ。ここで、関数 $f(x)$ は次のように定義される。 $f(x) = \begin{cases} (1 + \frac{x}{2})^{\frac{1}{x}} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$
2025/7/7
1. 問題の内容
関数 が で連続となるように、 の値を求めよ。ここで、関数 は次のように定義される。
$f(x) = \begin{cases}
(1 + \frac{x}{2})^{\frac{1}{x}} & (x \neq 0) \\
a & (x = 0)
\end{cases}$
2. 解き方の手順
関数 が で連続であるためには、 が成り立つ必要がある。つまり、
この極限を求めるために、自然対数 の定義を利用する。
とおく。
両辺の自然対数をとると、
のとき、 であるから、 () を利用できる。
したがって、
両辺の指数関数をとると、
よって、 となる。
より厳密に計算する場合は、ロピタルの定理を用いる。
を計算する。
これは の不定形なので、ロピタルの定理より
したがって、 となり、 となる。