与えられた定積分を計算します。 (1) $\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx$ (2) $\int_{0}^{2} \frac{8}{x^2 - 16} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

(1) $\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx$

(2) $\int_{0}^{2} \frac{8}{x^2 - 16} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx$ を計算します。

これは偶関数なので、$2\int_{0}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx = 4\int_{0}^{2} \frac{1}{x^2 + 4} dx$ と変形できます。

公式 $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ を用います。

この場合、$a^2 = 4$ なので $a = 2$ となり、

$\int \frac{1}{x^2 + 4} dx = \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C$

よって、

$4\int_{0}^{2} \frac{1}{x^2 + 4} dx = 4 \left[ \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) \right]_{0}^{2} = 2 \left[ \arctan(\frac{x}{2}) \right]_{0}^{2} = 2(\arctan(1) - \arctan(0)) = 2(\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{2}$

(2)

$\int_{0}^{2} \frac{8}{x^2 - 16} dx$ を計算します。

$\frac{8}{x^2 - 16} = \frac{8}{(x-4)(x+4)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+4}$ と部分分数分解します。

$8 = A(x+4) + B(x-4)$

$x = 4$ のとき $8 = 8A \implies A = 1$

$x = -4$ のとき $8 = -8B \implies B = -1$

よって、$\frac{8}{x^2 - 16} = \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4}$ となります。

$\int \frac{1}{x-4} dx = \ln|x-4| + C$

$\int \frac{1}{x+4} dx = \ln|x+4| + C$

したがって、

$\int_{0}^{2} \frac{8}{x^2 - 16} dx = \int_{0}^{2} (\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4}) dx = \left[ \ln|x-4| - \ln|x+4| \right]_{0}^{2} = \left[ \ln|\frac{x-4}{x+4}| \right]_{0}^{2} = \ln|\frac{2-4}{2+4}| - \ln|\frac{0-4}{0+4}| = \ln|\frac{-2}{6}| - \ln|\frac{-4}{4}| = \ln(\frac{1}{3}) - \ln(1) = \ln(\frac{1}{3}) - 0 = \ln(\frac{1}{3}) = -\ln(3)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2}$

(2) $-\ln(3)$