関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続かどうかを判定する問題です。 関数 $f(x)$ は次のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{x^2} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続かどうかを判定する問題です。

関数 $f(x)$ は次のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{x^2} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

* $f(0)$ が定義されていること

* $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在すること

* $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ であること

まず、$f(0)$ は問題文より $f(0) = 0$ で定義されています。

次に、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を計算します。$x \neq 0$ のとき、$f(x) = \frac{1 - \cos x}{x^2}$ なので、$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ を計算します。

ロピタルの定理を2回適用すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$

よって、$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}$ です。

最後に、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つかどうかを確認します。$\lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2}$ であり、$f(0) = 0$ であるため、$\frac{1}{2} \neq 0$ となります。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ は $x=0$ で連続ではありません。