関数 $f(x) = \left( \frac{x^2+1}{2} \right)^9$ が与えられたとき、$f'(1) + f(1)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \left( \frac{x^2+1}{2} \right)^9$ が与えられたとき、$f'(1) + f(1)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求める。

$f(x) = \left( \frac{x^2+1}{2} \right)^9$

$f'(x) = 9 \left( \frac{x^2+1}{2} \right)^8 \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2+1}{2} \right)$

$f'(x) = 9 \left( \frac{x^2+1}{2} \right)^8 \cdot \frac{2x}{2}$

$f'(x) = 9 \left( \frac{x^2+1}{2} \right)^8 \cdot x$

次に、$f(1)$ と $f'(1)$ を計算する。

$f(1) = \left( \frac{1^2+1}{2} \right)^9 = \left( \frac{2}{2} \right)^9 = 1^9 = 1$

$f'(1) = 9 \left( \frac{1^2+1}{2} \right)^8 \cdot 1 = 9 \left( \frac{2}{2} \right)^8 \cdot 1 = 9 (1)^8 = 9$

最後に、$f'(1) + f(1)$ を計算する。

$f'(1) + f(1) = 9 + 1 = 10$

3. 最終的な答え

$f'(1) + f(1) = 10$