与えられた定積分を計算します。 (1) $\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx$ (2) $\int_{0}^{2} \frac{8}{x^2 - 16} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

(1) $\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx$

(2) $\int_{0}^{2} \frac{8}{x^2 - 16} dx$

2. 解き方の手順

(1) まず、不定積分 $\int \frac{2}{x^2 + 4} dx$ を計算します。$x = 2\tan{\theta}$ と置換すると、$dx = 2\sec^2{\theta} d\theta$ となります。

したがって、

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\int \frac{2}{x^2 + 4} dx = \int \frac{2}{(2\tan{\theta})^2 + 4} (2\sec^2{\theta}) d\theta = \int \frac{4\sec^2{\theta}}{4\tan^2{\theta} + 4} d\theta = \int \frac{\sec^2{\theta}}{\tan^2{\theta} + 1} d\theta

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$\tan^2{\theta} + 1 = \sec^2{\theta}$ であるから、

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\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}} d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C

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$x = 2\tan{\theta}$ より、$\tan{\theta} = \frac{x}{2}$ なので、$\theta = \arctan{\frac{x}{2}}$ です。

したがって、

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\int \frac{2}{x^2 + 4} dx = \arctan{\frac{x}{2}} + C

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定積分を計算すると、

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\int_{-2}^{2} \frac{2}{x^2 + 4} dx = \left[ \arctan{\frac{x}{2}} \right]_{-2}^{2} = \arctan{\frac{2}{2}} - \arctan{\frac{-2}{2}} = \arctan{1} - \arctan{-1} = \frac{\pi}{4} - \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

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(2) まず、不定積分 $\int \frac{8}{x^2 - 16} dx$ を計算します。部分分数分解を利用します。

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\frac{8}{x^2 - 16} = \frac{8}{(x-4)(x+4)} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+4}

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$8 = A(x+4) + B(x-4)$ となる $A, B$ を求めます。

$x=4$ のとき、$8 = A(4+4) + B(4-4) = 8A$ なので、$A = 1$ です。

$x=-4$ のとき、$8 = A(-4+4) + B(-4-4) = -8B$ なので、$B = -1$ です。

したがって、

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\frac{8}{x^2 - 16} = \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4}

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不定積分は、

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\int \frac{8}{x^2 - 16} dx = \int \left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4} \right) dx = \ln{|x-4|} - \ln{|x+4|} + C = \ln{\left| \frac{x-4}{x+4} \right|} + C

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定積分を計算すると、

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\int_{0}^{2} \frac{8}{x^2 - 16} dx = \left[ \ln{\left| \frac{x-4}{x+4} \right|} \right]_{0}^{2} = \ln{\left| \frac{2-4}{2+4} \right|} - \ln{\left| \frac{0-4}{0+4} \right|} = \ln{\left| \frac{-2}{6} \right|} - \ln{\left| \frac{-4}{4} \right|} = \ln{\frac{1}{3}} - \ln{1} = \ln{\frac{1}{3}} - 0 = \ln{\frac{1}{3}} = -\ln{3}

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2}$

(2) $-\ln{3}$