以下の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 - x + 1}}$

## 問題 (6)

1. 問題の内容

以下の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 - x + 1}}$

2. 解き方の手順

$x$ が無限大に近づくときの極限を求める問題です。分母と分子を $x$ で割って、極限を計算しやすくします。

まず、分母を $x$ で割るために、根号の中から $x^2$ をくくり出します。

$\sqrt{x^2 - x + 1} = \sqrt{x^2(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} = |x| \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$なので、$x > 0$だから、$|x| = x$です。したがって、

$\sqrt{x^2 - x + 1} = x \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}$

よって、与えられた極限は

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}$

$x$で約分すると

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$と$\frac{1}{x^2} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0 + 0}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$

3. 最終的な答え

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