関数 $y = 4\sin\theta\cos\theta + 2(\sin\theta + \cos\theta) + 1$ について、以下の問いに答えます。ただし、$0 \le \theta \le \pi$とします。 (1) $\sin\theta + \cos\theta = t$とするとき、$y$を$t$を用いて表します。 (2) $t$のとり得る値の範囲を求めます。 (3) $y$の最大値、最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 4\sin\theta\cos\theta + 2(\sin\theta + \cos\theta) + 1$ について、以下の問いに答えます。ただし、$0 \le \theta \le \pi$とします。

(1) $\sin\theta + \cos\theta = t$とするとき、$y$を$t$を用いて表します。

(2) $t$のとり得る値の範囲を求めます。

(3) $y$の最大値、最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y$を$t$を用いて表す。

$t = \sin\theta + \cos\theta$の両辺を2乗すると、

$t^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$

したがって、

$2\sin\theta\cos\theta = t^2 - 1$

$4\sin\theta\cos\theta = 2(t^2 - 1) = 2t^2 - 2$

よって、$y = 4\sin\theta\cos\theta + 2(\sin\theta + \cos\theta) + 1 = (2t^2 - 2) + 2t + 1 = 2t^2 + 2t - 1$

(2) $t$のとり得る値の範囲を求める。

$t = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta \le \pi$より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

したがって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1 \cdot \sqrt{2}$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$

(3) $y$の最大値、最小値を求める。

$y = 2t^2 + 2t - 1 = 2(t^2 + t) - 1 = 2(t^2 + t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 1 = 2(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1 = 2(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$

$y$は$t = -\frac{1}{2}$で最小値$-\frac{3}{2}$をとる。

$t = \sqrt{2}$のとき、 $y = 2(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} - 1 = 4 + 2\sqrt{2} - 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

$t = -1$のとき、 $y = 2(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 2 - 2 - 1 = -1$

よって、最大値は$3 + 2\sqrt{2}$、最小値は$-\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2t^2 + 2t - 1$

(2) $-1 \le t \le \sqrt{2}$

(3) 最大値: $3 + 2\sqrt{2}$、最小値: $-\frac{3}{2}$