与えられた数式を簡略化したり、微分したりして、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化したり、微分したりして、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

1.

$\frac{3x^2+1}{x} = \frac{3x^2}{x} + \frac{1}{x} = 3x + \frac{1}{x}$.

右辺を $x^2$ を分母とする分数で表すと、$\frac{3x^3+x}{x^2}$となります。

問題文にあるように$\frac{\boxed{1} x^2 - \boxed{2}}{x^2}$とすると、与えられた式と一致しません。問題文の記述に誤りがあると判断します。この式を変形すると$3x + \frac{1}{x}$ となることがわかります。

2.

$\frac{x^3-3x^2+3x+1}{x} = \frac{x^3}{x} - \frac{3x^2}{x} + \frac{3x}{x} + \frac{1}{x} = x^2 - 3x + 3 + \frac{1}{x}$

$\frac{1}{x} = \frac{x}{x^2}$なので、

$\frac{\boxed{3} x - \boxed{4} - \boxed{5} x - \boxed{6} - \boxed{7}}{x^2}$ となります。

したがって、 $\frac{x^3-3x^2+3x+1}{x} = x^2 - 3x + 3 + \frac{x}{x^2} = x^2 - 3x + 3 + \frac{1}{x}$.

3.

$\frac{x^2-3x+1}{2x-3} = \frac{\boxed{8} x^2 - \boxed{9} x + \boxed{10}}{(2x-3)^2}$について、$f(x)=\frac{x^2-3x+1}{2x-3}$ を計算すると、

$f(x) = \frac{(x^2-3x+1)(2x-3)}{(2x-3)^2}=\frac{2x^3 -6x^2 +2x-3x^2+9x-3}{(2x-3)^2} = \frac{2x^3-9x^2+11x-3}{(2x-3)^2}$

と問題文にあるように(2x-3)2で割る形にはならないため、問題文に誤りがあると判断します。

4.

$(\frac{2x-4}{x^2-4x+4})' = (\frac{2(x-2)}{(x-2)^2})' = (\frac{2}{x-2})' = \frac{-2}{(x-2)^2}$

したがって、$(\frac{2x-4}{x^2-4x+4})' = \frac{\boxed{11}}{(x - \boxed{12})^{\boxed{13}}} = \frac{-2}{(x-2)^2}$

5.

$(\frac{e^x}{2x+1})' = \frac{e^x(2x+1) - e^x(2)}{(2x+1)^2} = \frac{e^x(2x+1-2)}{(2x+1)^2} = \frac{e^x(2x-1)}{(2x+1)^2}$

したがって、$(\frac{e^x}{2x+1})' = \frac{e^x(\boxed{14}x - \boxed{15})}{(2x+1)^2} = \frac{e^x(2x-1)}{(2x+1)^2}$

6. $(\frac{\log_e|x|}{x^2+x})' = \frac{\frac{1}{x}(x^2+x) - \log_e|x|(2x+1)}{(x^2+x)^2} = \frac{x+1 - (2x+1)\log_e|x|}{(x^2+x)^2} = \frac{\boxed{16}+x - (\boxed{17}x + \boxed{18})\log_e|x|}{(x^2+x)^2}$

したがって、$(\frac{\log_e|x|}{x^2+x})' = \frac{1+x - (2x+1)\log_e|x|}{(x^2+x)^2} = \frac{\boxed{16}+x - (\boxed{17}x + \boxed{18})\log_e|x|}{(x^2+x)^2}$

3. 最終的な答え

1. 3, -1/x

2. 1, 0, 0, 0, 0

3. 問題文に誤りがあるため解答不可

4. -2, 2, 2

5. 2, 1

6. 1, 2, 1