3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の極大値と極小値を求める。 (2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ をすべて求める。 (3) $0 \leq a \leq 1$ とし、$a \leq x \leq 2a$ における $f(x)$ の最大値を $a$ の関数 $g(a)$ とする。$y = g(a)$ のグラフをかき、その最大値を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の極大値と極小値を求める。

(2) $f(a) = f(2a)$ を満たす実数 $a$ をすべて求める。

(3) $0 \leq a \leq 1$ とし、$a \leq x \leq 2a$ における $f(x)$ の最大値を $a$ の関数 $g(a)$ とする。$y = g(a)$ のグラフをかき、その最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 6x + 2 = 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$、$x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

$f''(x) = 6x - 6$

$f''(x_1) = 6(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = -2\sqrt{3} < 0$ なので、$x_1$ で極大となる。

$f''(x_2) = 6(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = 2\sqrt{3} > 0$ なので、$x_2$ で極小となる。

極大値 $f(1-\frac{\sqrt{3}}{3}) = (1-\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1-\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1-\frac{\sqrt{3}}{3})$

$= 1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{9} - 3(1 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}) + 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= 1 - \frac{\sqrt{3}}{9} - 3 + 2\sqrt{3} - 1 + 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= -1 - \frac{\sqrt{3}}{9} + 2\sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{9} + \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{11\sqrt{3}}{9} \approx 2.11$

極小値 $f(1+\frac{\sqrt{3}}{3}) = (1+\frac{\sqrt{3}}{3})^3 - 3(1+\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + 2(1+\frac{\sqrt{3}}{3})$

$= 1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{9} - 3(1 + \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{3}) + 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= 1 + \frac{\sqrt{3}}{9} - 3 - 2\sqrt{3} - 1 + 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

$= -1 + \frac{\sqrt{3}}{9} - 2\sqrt{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{9} - \frac{4\sqrt{3}}{3} = -\frac{11\sqrt{3}}{9} \approx -2.11$

(2) $f(a) = f(2a)$

$a^3 - 3a^2 + 2a = (2a)^3 - 3(2a)^2 + 2(2a)$

$a^3 - 3a^2 + 2a = 8a^3 - 12a^2 + 4a$

$0 = 7a^3 - 9a^2 + 2a$

$0 = a(7a^2 - 9a + 2)$

$a = 0$ または $7a^2 - 9a + 2 = 0$

$a = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{14} = \frac{9 \pm \sqrt{25}}{14} = \frac{9 \pm 5}{14}$

$a = \frac{14}{14} = 1$ または $a = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

$a = 0, \frac{2}{7}, 1$

(3) $0 \leq a \leq 1$、$a \leq x \leq 2a$ における $f(x)$ の最大値を $g(a)$ とする。

$f(0) = 0$, $f(1) = 1-3+2 = 0$, $f(2) = 8-12+4=0$

$f'(x)=0$ となるのは $x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ と $x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ の時である。

$x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1 - \frac{1.732}{3} \approx 0.423$

$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1 + \frac{1.732}{3} \approx 1.577$

$0 \le a \le 1$より、$a\le x \le 2a$

$a \le 1-\frac{\sqrt{3}}{3} \le 2a$ のとき、つまり $\frac{1}{2} (1-\frac{\sqrt{3}}{3})\le a \le 1-\frac{\sqrt{3}}{3}$のとき、$g(a) = \frac{11\sqrt{3}}{9}$

$f(x) = x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)$.

$g(a)$は、$a \le x \le 2a$での$f(x)$の最大値。

$g(a)$の最大値は$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{11\sqrt{3}}{9}$

3. 最終的な答え

(1) 極大値をとる $x$ の値: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$、極大値: $\frac{11\sqrt{3}}{9}$

極小値をとる $x$ の値: $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$、極小値: $-\frac{11\sqrt{3}}{9}$

(2) $a = 0, \frac{2}{7}, 1$

(3) $y=g(a)$ のグラフの最大値：$\frac{11\sqrt{3}}{9}$