以下の逆三角関数の値を求めます。 1) $\tan^{-1} 1$ 2) $\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ 3) $\cos^{-1} \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

以下の逆三角関数の値を求めます。

1) $\tan^{-1} 1$

2) $\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$

3) $\cos^{-1} \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

1) $\tan^{-1} 1$ の値を求める。

$\tan \theta = 1$ となる $\theta$ を探す。三角関数の定義から $\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ である。

$\tan \frac{\pi}{4} = 1$ なので、$\tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$。

2) $\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}$ の値を求める。

$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ を探す。三角関数の定義から $\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ である。

$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、$\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$。

3) $\cos^{-1} \frac{1}{2}$ の値を求める。

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を探す。三角関数の定義から $\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \pi$ である。

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ なので、$\cos^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$。

3. 最終的な答え

1) $\tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$

2) $\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$

3) $\cos^{-1} \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$