関数 $f(\theta) = 2\sin^2\theta + 4\sin\theta + 3\cos2\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) について、以下の問いに答える問題です。 (1) $x = \sin\theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $x$ の式で表す。 (2) $f(\theta)$ の最大値、最小値を求め、そのときの $\theta$ の値をすべて求める。 (3) 方程式 $f(\theta) = a$ の相異なる解が4個であるような実数 $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = 2\sin^2\theta + 4\sin\theta + 3\cos2\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$) について、以下の問いに答える問題です。

(1) $x = \sin\theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $x$ の式で表す。

(2) $f(\theta)$ の最大値、最小値を求め、そのときの $\theta$ の値をすべて求める。

(3) 方程式 $f(\theta) = a$ の相異なる解が4個であるような実数 $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(\theta) = 2\sin^2\theta + 4\sin\theta + 3\cos2\theta$ を $x=\sin\theta$ で表す。

$\cos2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ であるから、

$f(\theta) = 2\sin^2\theta + 4\sin\theta + 3(1 - 2\sin^2\theta)$

$f(\theta) = 2x^2 + 4x + 3(1-2x^2) = 2x^2 + 4x + 3 - 6x^2 = -4x^2 + 4x + 3$

したがって、$f(\theta) = -4x^2 + 4x + 3$

(2) $f(\theta) = -4x^2 + 4x + 3$ の最大値、最小値を求める。

$f(\theta) = -4(x^2 - x) + 3 = -4(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 3 = -4(x-\frac{1}{2})^2 + 1 + 3 = -4(x-\frac{1}{2})^2 + 4$

$x = \sin\theta$ であり、$0 \le \theta < 2\pi$ であるから $-1 \le x \le 1$。

$x = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $4$ をとる。

$x = -1$ のとき、最小値 $f(\theta) = -4(-1)^2 + 4(-1) + 3 = -4 - 4 + 3 = -5$ をとる。

最大値をとるとき、$x = \sin\theta = \frac{1}{2}$。$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

最小値をとるとき、$x = \sin\theta = -1$。$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

(3) 方程式 $f(\theta) = a$ の相異なる解が4個であるような実数 $a$ の範囲を求める。

$f(\theta) = a$ すなわち $-4x^2 + 4x + 3 = a$

$-1 \le x \le 1$ において、$x = \sin\theta$ なので、$\sin\theta$ の値が一つ決まると $\theta$ の値は通常2つ存在する。

$x=\pm 1$のとき、$\theta$は一つだけ。

$y = -4x^2 + 4x + 3$ と $y = a$ のグラフの交点を考える。

$-1 \le x \le 1$ において、$-5 \le f(\theta) \le 4$

$f(\theta) = a$ の解が4つ存在するためには、$-1 < x < 1$ の範囲で2つの解を持つ必要がある。

最大値$4$をとるとき$x=\frac{1}{2}$。

$\sin \theta = x$なので、$a=4$のとき、$\theta = \frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$。$\sin \theta = \frac{1}{2}$

$-5 < a < 4$の時、$\sin \theta = x$のグラフを考えると解は４つ。

$x = 1/2$のとき、$f(\theta) = 4$なので、$a=4$は除外される。

$x=0$のとき、$f(\theta)=3$である。

$\sin \theta = x$より、$x=0$のとき$\theta = 0, \pi$であり、解は2つ。

$a = 3$のとき$-4x^2 + 4x + 3 = 3$すなわち$-4x^2 + 4x = 0$

$4x(1-x)=0$より$x = 0, 1$。$x=0$と$x=1$。

$a=3$のとき$\theta=0,\pi$と$\theta = \frac{\pi}{2}$の3つ解を持つ。

$3 < a < 4$ のとき$x=sin \theta$の解は$4つとなる。

3. 最終的な答え

(1) $f(\theta) = -4x^2 + 4x + 3$

(2) 最大値 $4$ ($\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$)、最小値 $-5$ ($\theta = \frac{3\pi}{2}$)

(3) $3 < a < 4$