与えられた数式の微分を計算し、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の5つの問題があります。 1. $\left\{ \frac{7}{5} \log_e |x-1| - \frac{2}{5} \log_e |x+4| \right\}' = \frac{x + [\text{ (1)}]}{x^2 + [\text{ (2)}] x - [\text{ (3)}]}$

1. 問題の内容

与えられた数式の微分を計算し、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の5つの問題があります。

1. $\left\{ \frac{7}{5} \log_e |x-1| - \frac{2}{5} \log_e |x+4| \right\}' = \frac{x + [\text{ (1)}]}{x^2 + [\text{ (2)}] x - [\text{ (3)}]}$

2. $\left\{ \frac{e^{2x}}{4} (2x-1) \right\}' = xe^{[\text{ (4)}]x}$

3. $\left\{ \frac{1}{3\sqrt{3}} (2x+1)^3 \right\}' = \sqrt{[\text{ (5)}]x + [\text{ (6)}]}$

4. $\left\{ \log_e (x^{3.14}) \right\}' = \frac{[\text{ (7)}]}{x}$

5. $\left\{ e^{2x^2 - 3x + 1} \right\}' = ([\text{ (8)}]x - [\text{ (9)}]) e^{2x^2 - 3x + 1}$

2. 解き方の手順

各問題について、微分を計算し、空欄に当てはまる値を求めます。

1. $\left\{ \frac{7}{5} \log_e |x-1| - \frac{2}{5} \log_e |x+4| \right\}' = \frac{7}{5(x-1)} - \frac{2}{5(x+4)} = \frac{7(x+4) - 2(x-1)}{5(x-1)(x+4)} = \frac{5x + 30}{5(x^2 + 3x - 4)} = \frac{x+6}{x^2 + 3x - 4}$

したがって、(1) = 6, (2) = 3, (3) = 4。

2. $\left\{ \frac{e^{2x}}{4} (2x-1) \right\}' = \frac{1}{4} \left\{ 2e^{2x} (2x-1) + e^{2x} \cdot 2 \right\} = \frac{1}{4} e^{2x} (4x - 2 + 2) = \frac{1}{4} e^{2x} (4x) = xe^{2x}$

したがって、(4) = 2。

3. $\left\{ \frac{1}{3\sqrt{3}} (2x+1)^3 \right\}' = \frac{1}{3\sqrt{3}} \cdot 3 (2x+1)^2 \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{3}} (2x+1)^2 = \frac{2}{\sqrt{3}} (4x^2 + 4x + 1)$

$\frac{2}{\sqrt{3}} (4x^2 + 4x + 1) \neq \sqrt{ax+b}$となるようなaとbを見つける必要がありそうです。問題文に間違いがないか確認が必要です。

$\left\{ \frac{1}{3\sqrt{3}} (2x+1)^3 \right\}' = \frac{2}{\sqrt{3}} (2x+1)^2$ であるので, 根号がつくのはおかしいと考えられます.もし, 問題が

$\sqrt{\frac{4}{3}(4x^2+4x+1)} = \sqrt{\frac{16}{3}x^2+\frac{16}{3}x+\frac{4}{3}}$であるならば, (5)と(6)が無理数になってしまい, 問題文の条件と矛盾します.

ただし、$(\frac{1}{3\sqrt{3}}(2x+1)^3)' = \frac{2}{\sqrt{3}}(2x+1)^2 = \frac{2}{\sqrt{3}}(4x^2 + 4x+1) = \frac{8}{\sqrt{3}}x^2+\frac{8}{\sqrt{3}}x+\frac{2}{\sqrt{3}}$

(5)と(6)にxの係数と定数項が入るとすると，この微分した関数を二乗したものをルートに入れると考える必要があります.

$\left\{ \frac{1}{3\sqrt{3}} (2x+1)^3 \right\}' = \frac{2}{\sqrt{3}} (2x+1)^2$ である. もし右辺が $\sqrt{ax+b}$ という形にしたいのであれば、問題文に誤植がある可能性がある。

もしくは、$(\frac{1}{\sqrt{3}}(2x+1)^{3/2})'$を計算するのであれば

$(\frac{1}{\sqrt{3}}(2x+1)^{3/2})' = \frac{1}{\sqrt{3}}\frac{3}{2}(2)(2x+1)^{1/2} = \frac{3}{\sqrt{3}}\sqrt{2x+1} = \sqrt{3}\sqrt{2x+1} = \sqrt{6x+3}$

(5) = 6, (6) = 3

4. $\left\{ \log_e (x^{3.14}) \right\}' = \left\{ 3.14 \log_e x \right\}' = \frac{3.14}{x}$

したがって、(7) = 3.14。

5. $\left\{ e^{2x^2 - 3x + 1} \right\}' = (4x - 3) e^{2x^2 - 3x + 1}$

したがって、(8) = 4, (9) = 3。

3. 最終的な答え

(1) = 6

(2) = 3

(3) = 4

(4) = 2

(5) = 6

(6) = 3

(7) = 3.14

(8) = 4

(9) = 3