与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = e^{2x}$ (2) $y = e^{x^2}$ (3) $y = 10^x$ (4) $y = \log(2x+1)$ (5) $y = \log(\sqrt{x}+1)$ (6) $y = \log(\frac{1}{x})$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = e^{2x}$

(2) $y = e^{x^2}$

(3) $y = 10^x$

(4) $y = \log(2x+1)$

(5) $y = \log(\sqrt{x}+1)$

(6) $y = \log(\frac{1}{x})$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{2x}$

合成関数の微分を用いる。$u = 2x$ とすると、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$, $\frac{du}{dx} = 2$

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 2 = 2e^{2x}$

(2) $y = e^{x^2}$

合成関数の微分を用いる。$u = x^2$ とすると、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$, $\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

(3) $y = 10^x$

$a^x$ の微分公式を用いる。$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \log a$

$\frac{dy}{dx} = 10^x \log 10$

(4) $y = \log(2x+1)$

合成関数の微分を用いる。$u = 2x+1$ とすると、$y = \log u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$, $\frac{du}{dx} = 2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$

(5) $y = \log(\sqrt{x}+1)$

合成関数の微分を用いる。$u = \sqrt{x}+1$ とすると、$y = \log u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$, $\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{(\sqrt{x}+1)2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$

(6) $y = \log(\frac{1}{x})$

対数の性質より、$y = \log(x^{-1}) = -\log x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x}$

3. 最終的な答え

(1) $2e^{2x}$

(2) $2xe^{x^2}$

(3) $10^x \log 10$

(4) $\frac{2}{2x+1}$

(5) $\frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$

(6) $-\frac{1}{x}$