SENSEI AI
About App

関数 $f, g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ は $C^2$ 級であり、 $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y}$ $\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y}$ を満たすとする。 (1) $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ を証明する。 (2) $r > 0, \theta \in \mathbb{R}$ に対して、$\phi(r, \theta) = r \cos \theta, \psi(r, \theta) = r \sin \theta$ とし、$F(r, \theta) = f(\phi(r, \theta), \psi(r, \theta)), G(r, \theta) = g(\phi(r, \theta), \psi(r, \theta))$ とする。このとき、以下の関係式が成り立つことを証明する。 $r\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial G}{\partial \theta}$ $\frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial \theta} = -\frac{\partial G}{\partial r}$ (3) $\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ が $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$ 上で成り立つことを証明する。

解析学偏微分合成関数調和関数極座標
2025/7/6

1. 問題の内容

関数 f,g:R2→Rf, g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} は C2C^2 級であり、
∂f∂x=∂g∂y\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y}
∂g∂x=−∂f∂y\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y}
を満たすとする。
(1) ∂2f∂x2+∂2f∂y2=0\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0 を証明する。
(2) r>0,θ∈Rr > 0, \theta \in \mathbb{R} に対して、ϕ(r,θ)=rcos⁡θ,ψ(r,θ)=rsin⁡θ\phi(r, \theta) = r \cos \theta, \psi(r, \theta) = r \sin \theta とし、F(r,θ)=f(ϕ(r,θ),ψ(r,θ)),G(r,θ)=g(ϕ(r,θ),ψ(r,θ))F(r, \theta) = f(\phi(r, \theta), \psi(r, \theta)), G(r, \theta) = g(\phi(r, \theta), \psi(r, \theta)) とする。このとき、以下の関係式が成り立つことを証明する。
r∂F∂r=∂G∂θr\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial G}{\partial \theta}
1r∂F∂θ=−∂G∂r\frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial \theta} = -\frac{\partial G}{\partial r}
(3) ∂2F∂r2+1r2∂2F∂θ2+1r∂F∂r=∂2f∂x2+∂2f∂y2\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} が R2∖{(0,0)}\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\} 上で成り立つことを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた条件 ∂f∂x=∂g∂y\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y} を xx で偏微分すると、
∂2f∂x2=∂2g∂x∂y\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}
また、与えられた条件 ∂g∂x=−∂f∂y\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y} を yy で偏微分すると、
∂2g∂y∂x=−∂2f∂y2\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = -\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
ff と gg は C2C^2 級なので、∂2g∂x∂y=∂2g∂y∂x\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} が成り立つ。
したがって、
∂2f∂x2=∂2g∂x∂y=∂2g∂y∂x=−∂2f∂y2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x} = -\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
よって、
∂2f∂x2+∂2f∂y2=0\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0
(2) 合成関数の微分を用いる。x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, y = r \sin \theta である。
∂F∂r=∂f∂x∂x∂r+∂f∂y∂y∂r=∂f∂xcos⁡θ+∂f∂ysin⁡θ\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta
∂F∂θ=∂f∂x∂x∂θ+∂f∂y∂y∂θ=∂f∂x(−rsin⁡θ)+∂f∂y(rcos⁡θ)\frac{\partial F}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial f}{\partial x} (-r \sin \theta) + \frac{\partial f}{\partial y} (r \cos \theta)
∂G∂r=∂g∂x∂x∂r+∂g∂y∂y∂r=∂g∂xcos⁡θ+∂g∂ysin⁡θ\frac{\partial G}{\partial r} = \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial g}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial g}{\partial y} \sin \theta
∂G∂θ=∂g∂x∂x∂θ+∂g∂y∂y∂θ=∂g∂x(−rsin⁡θ)+∂g∂y(rcos⁡θ)\frac{\partial G}{\partial \theta} = \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial g}{\partial x} (-r \sin \theta) + \frac{\partial g}{\partial y} (r \cos \theta)
与えられた条件 ∂f∂x=∂g∂y\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y} と ∂g∂x=−∂f∂y\frac{\partial g}{\partial x} = -\frac{\partial f}{\partial y} を用いると、
r∂F∂r=r(∂f∂xcos⁡θ+∂f∂ysin⁡θ)=r(∂g∂ycos⁡θ−∂g∂xsin⁡θ)=∂G∂θr \frac{\partial F}{\partial r} = r (\frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta) = r (\frac{\partial g}{\partial y} \cos \theta - \frac{\partial g}{\partial x} \sin \theta) = \frac{\partial G}{\partial \theta}
1r∂F∂θ=1r(∂f∂x(−rsin⁡θ)+∂f∂y(rcos⁡θ))=−∂g∂ysin⁡θ−∂g∂xcos⁡θ=−∂G∂r\frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial \theta} = \frac{1}{r} (\frac{\partial f}{\partial x} (-r \sin \theta) + \frac{\partial f}{\partial y} (r \cos \theta)) = -\frac{\partial g}{\partial y} \sin \theta - \frac{\partial g}{\partial x} \cos \theta = - \frac{\partial G}{\partial r}
(3) (2)の結果を使う。
∂F∂r=∂f∂xcos⁡θ+∂f∂ysin⁡θ\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta
∂2F∂r2=(∂2f∂x2cos⁡θ+∂2f∂y∂xsin⁡θ)cos⁡θ+(∂2f∂x∂ycos⁡θ+∂2f∂y2sin⁡θ)sin⁡θ=∂2f∂x2cos⁡2θ+2∂2f∂x∂ysin⁡θcos⁡θ+∂2f∂y2sin⁡2θ\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} = (\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\cos \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\sin \theta)\cos \theta + (\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\cos \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\sin \theta)\sin \theta = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\cos^2 \theta + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\sin \theta \cos \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\sin^2 \theta
∂F∂θ=−r∂f∂xsin⁡θ+r∂f∂ycos⁡θ\frac{\partial F}{\partial \theta} = -r\frac{\partial f}{\partial x}\sin \theta + r\frac{\partial f}{\partial y} \cos \theta
∂2F∂θ2=−r(∂2f∂x2cos⁡θ+∂2f∂y∂xsin⁡θ)sin⁡θ−r∂f∂xcos⁡θ+r(−∂2f∂x∂ysin⁡θ+∂2f∂y2cos⁡θ)cos⁡θ−r∂f∂ysin⁡θ=−r∂f∂xcos⁡θ−r∂f∂ysin⁡θ−r(∂2f∂x2sin⁡2θ−2∂2f∂x∂ysin⁡θcos⁡θ+∂2f∂y2cos⁡2θ)\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} = -r(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\cos \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\sin \theta)\sin \theta -r\frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta + r(-\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\sin \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\cos \theta)\cos \theta - r\frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta = -r \frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta -r\frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta - r(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\sin^2 \theta - 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\sin \theta \cos \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \cos^2 \theta )
1r2∂2F∂θ2+1r∂F∂r=−1r2[r∂f∂xcos⁡θ+r∂f∂ysin⁡θ+r(∂2f∂x2sin⁡2θ−2∂2f∂x∂ysin⁡θcos⁡θ+∂2f∂y2cos⁡2θ)]+1r(∂f∂xcos⁡θ+∂f∂ysin⁡θ)=−(∂2f∂x2sin⁡2θ−2∂2f∂x∂ysin⁡θcos⁡θ+∂2f∂y2cos⁡2θ)\frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial r} = -\frac{1}{r^2} [r \frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta +r\frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta +r(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\sin^2 \theta - 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\sin \theta \cos \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \cos^2 \theta )] + \frac{1}{r}(\frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta) = - (\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\sin^2 \theta - 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\sin \theta \cos \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \cos^2 \theta)
∂2F∂r2+1r2∂2F∂θ2+1r∂F∂r=∂2f∂x2(cos⁡2θ−sin⁡2θ)+2∂2f∂x∂y(sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θcos⁡θ)+∂2f∂y2(sin⁡2θ−cos⁡2θ)=∂2f∂x2cos⁡2θ+∂2f∂x2sin⁡2θ+∂2f∂y2sin⁡2θ+∂2f∂y2cos⁡2θ=∂2f∂x2+∂2f∂y2\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (\sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cos^2 \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \sin^2 \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \sin^2 \theta + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \cos^2 \theta = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

3. 最終的な答え

(1) ∂2f∂x2+∂2f∂y2=0\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0
(2) r∂F∂r=∂G∂θr\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial G}{\partial \theta}
1r∂F∂θ=−∂G∂r\frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial \theta} = -\frac{\partial G}{\partial r}
(3) ∂2F∂r2+1r2∂2F∂θ2+1r∂F∂r=∂2f∂x2+∂2f∂y2\frac{\partial^2 F}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial r} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}

「解析学」の関連問題

関数 $f(x)$ が次の積分方程式を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。 $f(x) = \int_0^2 x f'(t) dt + \int_0^x e^{x-t} dt$

積分方程式微分積分指数関数
2025/7/7

連続関数 $f(x)$ が次の等式を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。 $$f(x) = \int_0^2 xf''(t) dt + \int_0^x e^{x-t} dt$$

積分微分微分方程式定積分連続関数
2025/7/7

連続関数 $f(x)$ が次の積分方程式を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。 $f(x) = \int_0^2 xf''(t)dt + \int_0^x e^{x-t}dt$

積分方程式微分積分連続関数
2025/7/7

極限値 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{4n^2 - k^2}$ を求めよ。

極限積分リーマン和部分分数分解
2025/7/7

与えられた極限を求めます。 (1) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+2x} - x)$ (2) $\lim_{x\to-\infty} (\sqrt{4x^2+2x} + ...

極限関数ルート
2025/7/7

曲線 $y = x^3 + 2$ 上にない点 $(0, 18)$ から引いた接線の方程式と、その接点の座標を求める問題です。

微分接線曲線の接線微分法
2025/7/7

曲線 $y = \sin x$ と $x$ 軸、直線 $x = \frac{\pi}{4}$ で囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める問題です。

積分体積回転体三角関数
2025/7/7

曲線 $y = 2x^2 - 1$ 上にない点 $(2, 5)$ からこの曲線に引いた接線の方程式と、その接点の座標を求めよ。

微分接線曲線二次関数
2025/7/7

曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める問題です。

微分接線導関数
2025/7/7

曲線 $y = x^2 - x + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める。

接線微分曲線方程式
2025/7/7