与えられた微分方程式 $x \frac{dy}{dx} - y = 1$ の一般解を定数変化法を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $x \frac{dy}{dx} - y = 1$ の一般解を定数変化法を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、同次方程式を解きます。

$x \frac{dy}{dx} - y = 0$

$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$

両辺を積分すると

$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$

$\ln |y| = \ln |x| + C_1$

$\ln |y| = \ln |x| + \ln |C|$ （$C_1 = \ln |C|$ と置く）

$\ln |y| = \ln |Cx|$

$y = Cx$

次に、定数変化法を用いて特殊解を求めます。$C$ を $x$ の関数 $C(x)$ に置き換えます。

$y = C(x)x$

これを元の微分方程式に代入します。

$x \frac{d}{dx} (C(x)x) - C(x)x = 1$

$x(C'(x)x + C(x)) - C(x)x = 1$

$x^2 C'(x) + xC(x) - C(x)x = 1$

$x^2 C'(x) = 1$

$C'(x) = \frac{1}{x^2}$

$C(x) = \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C_2$

したがって、一般解は

$y = C(x)x = (-\frac{1}{x} + C_2)x = -1 + C_2 x$

$y = Cx - 1$ (ここで $C_2$ を $C$ と置き換えています。)

3. 最終的な答え

$y = Cx - 1$