定積分 $\int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x})^2 dx$ の値を求める。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x})^2 dx$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2(x)(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

したがって、

$\int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x})^2 dx = \int_{1}^{2} (x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}) dx$

各項を積分します。

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$

$\int -2 dx = -2x + C$

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

したがって、

$\int_{1}^{2} (x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}) dx = [\frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x}]_{1}^{2}$

積分の上端と下端を代入して計算します。

$[\frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (\frac{2^3}{3} - 2(2) - \frac{1}{2}) - (\frac{1^3}{3} - 2(1) - \frac{1}{1})$

$= (\frac{8}{3} - 4 - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{3} - 2 - 1)$

$= (\frac{16}{6} - \frac{24}{6} - \frac{3}{6}) - (\frac{1}{3} - 3)$

$= \frac{16 - 24 - 3}{6} - \frac{1 - 9}{3}$

$= \frac{-11}{6} - \frac{-8}{3}$

$= \frac{-11}{6} + \frac{16}{6}$

$= \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{6}$