次の曲線上のある点における法線の方程式を求めます。 (1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ の $x = 3$ に対応する点における法線 (2) $y = \tan x$ の $x = \frac{\pi}{4}$ に対応する点における法線

1. 問題の内容

次の曲線上のある点における法線の方程式を求めます。

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ の $x = 3$ に対応する点における法線

(2) $y = \tan x$ の $x = \frac{\pi}{4}$ に対応する点における法線

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ の場合:

* $x = 3$ のとき、$y = 3^3 - 3(3^2) - 1 = 27 - 27 - 1 = -1$。よって、点$(3, -1)$における法線を求める。

* $y' = 3x^2 - 6x$

* $x = 3$ のとき、$y' = 3(3^2) - 6(3) = 27 - 18 = 9$。これは接線の傾きである。

* 法線の傾きは接線の傾きの逆数に負の符号をつけたものなので、法線の傾きは$-\frac{1}{9}$

* 点$(3, -1)$を通り、傾きが$-\frac{1}{9}$の直線の方程式は、

$y - (-1) = -\frac{1}{9}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3}$

$y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

(2) $y = \tan x$ の場合:

* $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$y = \tan \frac{\pi}{4} = 1$。よって、点$(\frac{\pi}{4}, 1)$における法線を求める。

* $y' = \frac{1}{\cos^2 x}$

* $x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$y' = \frac{1}{\cos^2 (\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$。これは接線の傾きである。

* 法線の傾きは接線の傾きの逆数に負の符号をつけたものなので、法線の傾きは$-\frac{1}{2}$

* 点$(\frac{\pi}{4}, 1)$を通り、傾きが$-\frac{1}{2}$の直線の方程式は、

$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

(2) $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$