次の2つの重積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + y^2) \, dx \, dy$ (2) $\int_{1}^{2} \int_{1}^{2} x^2 y \, dx \, dy$

1. 問題の内容

次の2つの重積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x^2 + y^2) \, dx \, dy$

(2) $\int_{1}^{2} \int_{1}^{2} x^2 y \, dx \, dy$

2. 解き方の手順

(1) まず、内側の積分 $\int_{0}^{1} (x^2 + y^2) \, dx$ を計算します。

$x$ で積分すると、

$$\int_{0}^{1} (x^2 + y^2) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + y^2 x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} + y^2$$

次に、外側の積分 $\int_{0}^{2} (\frac{1}{3} + y^2) \, dy$ を計算します。

$y$ で積分すると、

$$\int_{0}^{2} \left( \frac{1}{3} + y^2 \right) \, dy = \left[ \frac{1}{3} y + \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$$

(2) まず、内側の積分 $\int_{1}^{2} x^2 y \, dx$ を計算します。

$x$ で積分すると、

$$\int_{1}^{2} x^2 y \, dx = y \int_{1}^{2} x^2 \, dx = y \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = y \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{7}{3} y$$

次に、外側の積分 $\int_{1}^{2} \frac{7}{3} y \, dy$ を計算します。

$y$ で積分すると、

$$\int_{1}^{2} \frac{7}{3} y \, dy = \frac{7}{3} \int_{1}^{2} y \, dy = \frac{7}{3} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{7}{3} \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{7}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{10}{3}$

(2) $\frac{7}{2}$