与えられた曲線について、指定された $x$ 座標に対応する点における接線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $y = x^2 - x$ at $x = 3$ (2) $y = \frac{1}{x}$ at $x = 2$ (3) $y = 3\sqrt[3]{x^2}$ at $x = 8$ (4) $y = e^{2x}$ at $x = 0$

1. 問題の内容

与えられた曲線について、指定された $x$ 座標に対応する点における接線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $y = x^2 - x$ at $x = 3$

(2) $y = \frac{1}{x}$ at $x = 2$

(3) $y = 3\sqrt[3]{x^2}$ at $x = 8$

(4) $y = e^{2x}$ at $x = 0$

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で接線の方程式を求めます。

(1) 曲線上の点の座標を求める。

(2) 導関数を計算し、指定された $x$ 座標における傾きを求める。

(3) 点と傾きを使って接線の方程式を求める。接線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ の形で表されます。ここで $(x_1, y_1)$ は曲線上の点の座標、$m$ は傾きです。

(1) $y = x^2 - x$ at $x = 3$

* $x = 3$ のとき、$y = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$。点 $(3, 6)$

* $y' = 2x - 1$。 $x = 3$ のとき、$y' = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$ （傾き）

* 接線の方程式: $y - 6 = 5(x - 3)$ => $y = 5x - 15 + 6$ => $y = 5x - 9$

(2) $y = \frac{1}{x}$ at $x = 2$

* $x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{2}$。点 $(2, \frac{1}{2})$

* $y' = -\frac{1}{x^2}$。 $x = 2$ のとき、$y' = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$ （傾き）

* 接線の方程式: $y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2)$ => $y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ => $y = -\frac{1}{4}x + 1$

(3) $y = 3\sqrt[3]{x^2} = 3x^{\frac{2}{3}}$ at $x = 8$

* $x = 8$ のとき、$y = 3\sqrt[3]{8^2} = 3\sqrt[3]{64} = 3(4) = 12$。点 $(8, 12)$

* $y' = 3(\frac{2}{3})x^{-\frac{1}{3}} = 2x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$。 $x = 8$ のとき、$y' = \frac{2}{\sqrt[3]{8}} = \frac{2}{2} = 1$ （傾き）

* 接線の方程式: $y - 12 = 1(x - 8)$ => $y = x - 8 + 12$ => $y = x + 4$

(4) $y = e^{2x}$ at $x = 0$

* $x = 0$ のとき、$y = e^{2(0)} = e^0 = 1$。点 $(0, 1)$

* $y' = 2e^{2x}$。 $x = 0$ のとき、$y' = 2e^{2(0)} = 2e^0 = 2(1) = 2$ （傾き）

* 接線の方程式: $y - 1 = 2(x - 0)$ => $y = 2x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = 5x - 9$

(2) $y = -\frac{1}{4}x + 1$

(3) $y = x + 4$

(4) $y = 2x + 1$