$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分子 $x^3 + 8$ を因数分解します。

$x^3 + 8$ は $x^3 + 2^3$ と書けるので、和の立方体の公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いると、

$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ となります。

よって、

$\frac{x^3 + 8}{x + 2} = \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x + 2}$ となります。

ここで、$x \neq -2$ のとき、$\frac{x + 2}{x + 2} = 1$ なので、

$\frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x + 2} = x^2 - 2x + 4$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4)$ となります。

$x^2 - 2x + 4$ は連続関数なので、$x = -2$ を代入すると、

$(-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$ となります。

3. 最終的な答え

12