$\tan(\sin^{-1}\frac{1}{4})$ の値を求める問題です。まず、$\sin^{-1}\frac{1}{4} = \theta$ とおくと、$\sin\theta = \frac{1}{4}$ となります。このとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

$\tan(\sin^{-1}\frac{1}{4})$ の値を求める問題です。まず、$\sin^{-1}\frac{1}{4} = \theta$ とおくと、$\sin\theta = \frac{1}{4}$ となります。このとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\theta = \frac{1}{4}$ であることから、$\cos\theta$ を求めます。$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の関係から、

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\theta$ は $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲にあるので、$\cos\theta \ge 0$ であるから、

$\cos\theta = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$

次に、$\tan\theta$ を求めます。$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より、

$\tan\theta = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$

これを有理化すると、

$\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$

3. 最終的な答え

$\tan(\sin^{-1}\frac{1}{4}) = \frac{1}{\sqrt{15}}$

選択肢を確認すると⑤です。