画像には、ベクトルの外積、内積、微分方程式に関する問題が複数含まれています。具体的には、ベクトルの外積の計算、内積の計算、ベクトルの大きさの計算、ベクトル三重積の公式の証明、1階および2階の微分方程式の一般解と初期条件を満たす解の計算などが含まれています。

1. 問題の内容

画像には、ベクトルの外積、内積、微分方程式に関する問題が複数含まれています。具体的には、ベクトルの外積の計算、内積の計算、ベクトルの大きさの計算、ベクトル三重積の公式の証明、1階および2階の微分方程式の一般解と初期条件を満たす解の計算などが含まれています。

2. 解き方の手順

いくつか問題が記載されていますが、ここでは微分方程式の問題（問6-5）について解説します。

**(1) $\frac{dx}{dt} = 5x$, $x(0) = 1$**

これは分離可能な微分方程式なので、変数分離を行います。

$\frac{dx}{x} = 5 dt$

両辺を積分します。

$\int \frac{dx}{x} = \int 5 dt$

$\ln|x| = 5t + C_1$

$x = e^{5t + C_1} = e^{C_1} e^{5t} = C e^{5t}$ (ただし、$C = e^{C_1}$)

初期条件 $x(0) = 1$ を適用します。

$1 = C e^{5(0)} = C e^0 = C$

したがって、$C = 1$

よって、解は $x(t) = e^{5t}$

**(2) $1 + i = re^{i\theta}$, $r \ge 0, 0 \le \theta < 2\pi$**

複素数の極形式への変換です。

$1 + i$ の絶対値 $r$ は $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

偏角 $\theta$ は $\tan \theta = \frac{1}{1} = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$ (第1象限)

よって、$r = \sqrt{2}, \theta = \frac{\pi}{4}$

**(3) $\frac{d^2x}{dt^2} - 4 \frac{dx}{dt} + 3x = 0$, $x(0) = 1, \frac{dx}{dt}(0) = 1$**

これは定数係数の同次2階線形微分方程式です。特性方程式を解きます。

$r^2 - 4r + 3 = 0$

$(r - 1)(r - 3) = 0$

$r = 1, 3$

したがって、一般解は $x(t) = C_1 e^t + C_2 e^{3t}$

初期条件を適用します。まず、$x(0) = 1$ より

$1 = C_1 e^0 + C_2 e^0 = C_1 + C_2$

次に、$\frac{dx}{dt} = C_1 e^t + 3C_2 e^{3t}$ より、$\frac{dx}{dt}(0) = 1$

$1 = C_1 e^0 + 3C_2 e^0 = C_1 + 3C_2$

$C_1 + C_2 = 1$ と $C_1 + 3C_2 = 1$ を解くと、

$2C_2 = 0$ より $C_2 = 0$

$C_1 = 1$

よって、$x(t) = e^t$

**(4) $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} = t$, $x(0) = 0, \frac{dx}{dt}(0) = 1$**

これは定数係数の非同次2階線形微分方程式です。まず、同次方程式の解を求めます。

$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} = 0$

特性方程式は $r^2 + r = 0$, $r(r+1)=0$

$r = 0, -1$

同次方程式の一般解は $x_h(t) = C_1 + C_2 e^{-t}$

次に、非同次方程式の特殊解を仮定します。$x_p(t) = At + B$ と仮定します。

$\frac{dx_p}{dt} = A$, $\frac{d^2x_p}{dt^2} = 0$

$\frac{d^2x_p}{dt^2} + \frac{dx_p}{dt} = 0 + A = t$ これは矛盾しているので、

$x_p(t) = At^2 + Bt$ と仮定します。

$\frac{dx_p}{dt} = 2At + B$, $\frac{d^2x_p}{dt^2} = 2A$

$\frac{d^2x_p}{dt^2} + \frac{dx_p}{dt} = 2A + 2At + B = t$

$2A = 1$ より $A = \frac{1}{2}$

$2A + B = 0$ より $1 + B = 0$ なので $B = -1$

よって、$x_p(t) = \frac{1}{2} t^2 - t$

一般解は $x(t) = C_1 + C_2 e^{-t} + \frac{1}{2} t^2 - t$

初期条件を適用します。$x(0) = 0$ より

$0 = C_1 + C_2 + 0 - 0$ つまり $C_1 + C_2 = 0$

$\frac{dx}{dt} = -C_2 e^{-t} + t - 1$ より $\frac{dx}{dt}(0) = 1$

$1 = -C_2 + 0 - 1$ つまり $C_2 = -2$

$C_1 = -C_2 = 2$

よって、$x(t) = 2 - 2e^{-t} + \frac{1}{2} t^2 - t$

3. 最終的な答え

(1) $x(t) = e^{5t}$

(2) $r = \sqrt{2}, \theta = \frac{\pi}{4}$

(3) $x(t) = e^t$

(4) $x(t) = 2 - 2e^{-t} + \frac{1}{2} t^2 - t$