与えられた関数 $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$ の微分を求める問題です。ここで $\tan^{-1}x$ は逆正接関数を表します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$ の微分を求める問題です。ここで $\tan^{-1}x$ は逆正接関数を表します。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法（連鎖律）を使います。$u = \tan^{-1}x$ とおくと、$y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ となります。

連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$u = \tan^{-1}x$ なので、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\tan^{-1}x}} \cdot \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}$