2点 $P, Q \in \mathbb{R}^2$ および $r_1 > 0, r_2 > 0$ に対して、もし $|PQ| > r_1 + r_2$ ならば $U_{r_1}(P) \cap U_{r_2}(Q) = \emptyset$ となることを示す。ここで、$U_r(P)$ は点 $P$ を中心とする半径 $r$ の開円板を表す。
2025/7/7
## 問題12-1
1. 問題の内容
2点 および に対して、もし ならば となることを示す。ここで、 は点 を中心とする半径 の開円板を表す。
2. 解き方の手順
背理法を用いる。 と仮定する。
このとき、 に属する点 が存在する。
より、 。
より、 。
三角不等式より、 。
したがって、 となる。これは、 という仮定に矛盾する。
よって、 である。
3. 最終的な答え
ならば が成り立つ。
## 問題12-2
1. 問題の内容
が 級関数であり、ある が存在して、
((x, y) ∈ ℝ²)
を満たすとき、不等式
((x, y) ∈ ℝ², h, k ∈ ℝ)
が成立することを示す。
2. 解き方の手順
平均値の定理を用いる。
ここで、 と置くと、平均値の定理より
(ただし は と の間の数)
同様に、 と置くと、平均値の定理より
(ただし は と の間の数)
したがって、
両辺の絶対値を取ると、
ここで、コーシー・シュワルツの不等式を用いる。
よって、
3. 最終的な答え
が成り立つ。
## 問題12-3
1. 問題の内容
空間において、不等式 で表わされる図形の概形を描く。
2. 解き方の手順
は放物面を表す。
より、 となるから、。
したがって、この立体は、 平面上では半径 の円板であり、その上部は放物面 で抑えられている。
のとき、 であるから、 平面上に半径 の円ができる。
のとき、 () となるから、 平面上には放物線ができる。
のとき、 () となるから、 平面上には放物線ができる。
3. 最終的な答え
この図形は、xy平面上の単位円を底面とし、z軸方向に で表される曲面を上部とする立体である。つまり、上に凸な放物面 で切り取られた円柱の内部で、 の部分。