次の広義積分を求めます。 (i) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ (ii) $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$ (iii) $\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} \, dx$ (iv) $\int_{0}^{\infty} \frac{e^x}{e^{2x} + 1} \, dx$ (v) $\int_{0}^{\infty} \log x \, dx$ (vi) $\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} \, dx$

1. 問題の内容

次の広義積分を求めます。

(i) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

(ii) $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$

(iii) $\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} \, dx$

(iv) $\int_{0}^{\infty} \frac{e^x}{e^{2x} + 1} \, dx$

(v) $\int_{0}^{\infty} \log x \, dx$

(vi) $\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} \, dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$:

これは $\arcsin x$ の積分区間 $[0,1]$ における値です。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = [\arcsin x]_{0}^{1} = \arcsin(1) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

(ii) $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$:

部分積分を行います。 $u = \log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int_{0}^{1} x \log x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{2} dx$

ここで、$\lim_{x \to 0} x^2 \log x = 0$であることに注意します。

$\left[ \frac{x^2}{2} \log x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \log 1 - 0 = 0$.

$\int_{0}^{1} \frac{x}{2} dx = \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}$.

したがって、$\int_{0}^{1} x \log x \, dx = 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$.

(iii) $\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} \, dx$:

$t = x^2$ と置換すると、$dt = 2x dx$ となります。

$\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} \, dx = \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} x \, dx = \int_{0}^{\infty} t e^{-t} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} t e^{-t} dt$.

部分積分を行います。 $u = t$, $dv = e^{-t} dt$ とすると、$du = dt$, $v = -e^{-t}$ となります。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} t e^{-t} dt = \frac{1}{2} \left( \left[ -te^{-t} \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -e^{-t} dt \right) = \frac{1}{2} \left( 0 + \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt \right) = \frac{1}{2} \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} (0 - (-1)) = \frac{1}{2}$.

(iv) $\int_{0}^{\infty} \frac{e^x}{e^{2x} + 1} \, dx$:

$t = e^x$ と置換すると、$dt = e^x dx$ となります。積分範囲は $1$ から $\infty$ に変わります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{e^x}{e^{2x} + 1} \, dx = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{t^2 + 1} dt = [\arctan t]_{1}^{\infty} = \arctan(\infty) - \arctan(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(v) $\int_{0}^{\infty} \log x \, dx$:

これは発散します。

$\lim_{a \to 0} \int_{a}^{1} \log x \, dx + \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \log x \, dx = \lim_{a \to 0} [x \log x - x]_{a}^{1} + \lim_{b \to \infty} [x \log x - x]_{1}^{b}$.

$\lim_{a \to 0} (1 \log 1 - 1 - (a \log a - a)) = -1$.

$\lim_{b \to \infty} (b \log b - b - (1 \log 1 - 1)) = \lim_{b \to \infty} (b \log b - b + 1) = \infty$.

したがって、積分は発散します。

(vi) $\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} \, dx$:

部分積分を行います。 $u = \log x$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = -\frac{1}{x}$ となります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx = \left[ -\frac{\log x}{x} \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} dx = \left[ -\frac{\log x}{x} \right]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$.

ここで、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} \frac{\log x}{x} = -\infty$ であることに注意します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\log x}{x}$は$-\infty$に発散するので、$\int_{0}^{1} \frac{\log x}{x^2} dx$は$-\infty$に発散します。

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$も発散します。

したがって、$\int_{0}^{\infty} \frac{\log x}{x^2} dx$は発散します。

$\lim_{a\to 0, b \to \infty} [-\frac{log x}{x}]_a^b + \int_{a}^{b} \frac{1}{x^2} = 0 - 0 + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2}$.

3. 最終的な答え

(i) $\frac{\pi}{2}$

(ii) $-\frac{1}{4}$

(iii) $\frac{1}{2}$

(iv) $\frac{\pi}{4}$

(v) 発散

(vi) 発散