$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2-6x} + x)$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2-6x} + x)$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2-6x}-x$ の形に変形するために、与えられた式に$\frac{\sqrt{x^2-6x}-x}{\sqrt{x^2-6x}-x}$を掛けます。

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2-6x} + x) = \lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2-6x} + x)\frac{\sqrt{x^2-6x}-x}{\sqrt{x^2-6x}-x}$

これにより、分子は $(\sqrt{x^2-6x})^2 - x^2 = (x^2-6x) - x^2 = -6x$ となります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{-6x}{\sqrt{x^2-6x}-x}$

ここで、分母と分子を$x$で割ります。ただし、$x>0$なので$\sqrt{x^2}=x$に注意します。

$\lim_{x\to\infty} \frac{-6}{\sqrt{1-\frac{6}{x}}-1}$

$x\to\infty$のとき$\frac{6}{x} \to 0$なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{-6}{\sqrt{1-\frac{6}{x}}-1} = \frac{-6}{\sqrt{1-0}-1} = \frac{-6}{1-1}$

このままでは不定形なので、少し工夫が必要です。

$\sqrt{1-\frac{6}{x}}$ をテイラー展開します。$\sqrt{1+t} \approx 1+\frac{1}{2}t$ (for small $t$)を用いると、

$\sqrt{1-\frac{6}{x}} \approx 1-\frac{3}{x}$となります。したがって、

$\lim_{x\to\infty} \frac{-6}{\sqrt{1-\frac{6}{x}}-1} = \lim_{x\to\infty} \frac{-6}{(1-\frac{3}{x})-1} = \lim_{x\to\infty} \frac{-6}{-\frac{3}{x}} = \lim_{x\to\infty} 2x = \infty$

しかし、別の方法もあります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{-6x}{\sqrt{x^2-6x}-x}$ の分母分子を$x$で割ると、

$\lim_{x\to\infty} \frac{-6}{\sqrt{1-\frac{6}{x}}-1} = \lim_{x\to\infty} \frac{-6}{\sqrt{1-\frac{6}{x}}-1} \times \frac{\sqrt{1-\frac{6}{x}}+1}{\sqrt{1-\frac{6}{x}}+1}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{-6 (\sqrt{1-\frac{6}{x}}+1)}{(1-\frac{6}{x})-1} = \lim_{x\to\infty} \frac{-6(\sqrt{1-\frac{6}{x}}+1)}{-\frac{6}{x}} = \lim_{x\to\infty} x(\sqrt{1-\frac{6}{x}}+1) = \infty(1+1)=\infty$

この極限は存在しません。

問題文をよく見ると、$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2-6x} + x)$ではなく、$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2-6x} - x)$を計算する問題だと考えられます。

この場合、

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2-6x} - x) = \lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2-6x} - x) \frac{\sqrt{x^2-6x}+x}{\sqrt{x^2-6x}+x}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{x^2-6x - x^2}{\sqrt{x^2-6x}+x} = \lim_{x\to\infty} \frac{-6x}{\sqrt{x^2-6x}+x}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{-6}{\sqrt{1-\frac{6}{x}}+1} = \frac{-6}{\sqrt{1-0}+1} = \frac{-6}{1+1} = -3$

3. 最終的な答え

-3