次の4つの定積分の値を求めます。 a) $\int_{1}^{2} (x+1)(x-1) dx$ b) $\int_{1}^{3} \frac{1}{x^3} dx$ c) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx$ d) $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1) dx$

1. 問題の内容

次の4つの定積分の値を求めます。

a) $\int_{1}^{2} (x+1)(x-1) dx$

b) $\int_{1}^{3} \frac{1}{x^3} dx$

c) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx$

d) $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1) dx$

2. 解き方の手順

a) まず積分の中身を展開します。

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$

次に、不定積分を求めます。

$\int (x^2 - 1) dx = \frac{1}{3}x^3 - x + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} - 1\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}$

b) まず積分の中身を $x$ のべき乗の形で表します。

$\frac{1}{x^3} = x^{-3}$

次に、不定積分を求めます。

$\int x^{-3} dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

最後に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^3} dx = \left[-\frac{1}{2x^2}\right]_1^3 = -\frac{1}{18} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{18} + \frac{9}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

c) $\cos 2x$ の不定積分を求めます。

$\int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx = \left[\frac{1}{2} \sin 2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \sin \pi - \frac{1}{2} \sin 0 = 0 - 0 = 0$

d) $e^{3x} - 1$ の不定積分を求めます。

$\int (e^{3x} - 1) dx = \frac{1}{3} e^{3x} - x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1) dx = \left[\frac{1}{3} e^{3x} - x\right]_0^1 = \left(\frac{1}{3} e^3 - 1\right) - \left(\frac{1}{3} e^0 - 0\right) = \frac{1}{3} e^3 - 1 - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} e^3 - \frac{4}{3} = \frac{e^3 - 4}{3}$

3. 最終的な答え

a) $\frac{4}{3}$

b) $\frac{4}{9}$

c) $0$

d) $\frac{e^3 - 4}{3}$