$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{x}{2}}{x^2} = -\frac{1}{8}$ を、マクローリン展開を用いて示す。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{x}{2}}{x^2} = -\frac{1}{8}$ を、マクローリン展開を用いて示す。

2. 解き方の手順

$(1+x)^{\frac{1}{2}}$ のマクローリン展開を求める。一般に、$(1+x)^{\alpha}$ のマクローリン展開は

$(1+x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \dots$

と表される。したがって、$\alpha = \frac{1}{2}$ のとき、

$(1+x)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!} x^2 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{3!} x^3 + \dots$

$= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8} x^2 + \frac{1}{16} x^3 + \dots$

となる。

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x\to 0} \frac{(1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8} x^2 + \frac{1}{16} x^3 + \dots) - 1 - \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{1}{8} x^2 + \frac{1}{16} x^3 + \dots}{x^2}$

$= \lim_{x\to 0} (-\frac{1}{8} + \frac{1}{16} x + \dots) = -\frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$\lim_{x\to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{2}} - 1 - \frac{x}{2}}{x^2} = -\frac{1}{8}$