与えられた2階線形同次微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$ の一般解を求める問題です。特性方程式を利用して解きます。

1. 問題の内容

与えられた2階線形同次微分方程式

$\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$

の一般解を求める問題です。特性方程式を利用して解きます。

2. 解き方の手順

(1) 特性方程式を立てます。

微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$ に対して、特性方程式は

$r^2 + 3r + 2 = 0$

となります。

(2) 特性方程式を解きます。

特性方程式 $r^2 + 3r + 2 = 0$ は因数分解できて、

$(r + 1)(r + 2) = 0$

したがって、$r = -1, -2$ が得られます。

(3) 一般解を求めます。

特性方程式の解が $r_1 = -1$ と $r_2 = -2$ のように異なる2つの実数解を持つとき、一般解は

$y = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$

で与えられます。ここで、$c_1$ と $c_2$ は任意定数です。

したがって、与えられた微分方程式の一般解は

$y = c_1 e^{-x} + c_2 e^{-2x}$

となります。

3. 最終的な答え

$y = c_1 e^{-x} + c_2 e^{-2x}$