方程式 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ で定められる $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ をそれぞれ $x$ と $y$ を用いて表す。

1. 問題の内容

方程式 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ で定められる $x$ の関数 $y$ について、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{d^2y}{dx^2}$ をそれぞれ $x$ と $y$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ の両辺を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx} (\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}) = \frac{d}{dx} (1)$

$\frac{2x}{4} - \frac{2y}{9} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{x}{2} - \frac{2y}{9} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2y}{9} \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{9x}{4y}$

次に、$\frac{dy}{dx} = \frac{9x}{4y}$ を $x$ で微分して $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{9x}{4y}) = \frac{9}{4} \frac{d}{dx} (\frac{x}{y})$

商の微分公式 $\frac{d}{dx} (\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$ を用いると、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{9}{4} \frac{y \cdot 1 - x \frac{dy}{dx}}{y^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{9}{4} \frac{y - x (\frac{9x}{4y})}{y^2} = \frac{9}{4} \frac{y - \frac{9x^2}{4y}}{y^2} = \frac{9}{4} \frac{4y^2 - 9x^2}{4y^3}$

与えられた方程式 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ より $9x^2 - 4y^2 = 36$ なので、$4y^2 - 9x^2 = -36$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{9}{4} \frac{-36}{4y^3} = \frac{9}{4} \cdot \frac{-9}{y^3} = -\frac{81}{4y^3}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{9x}{4y}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{81}{4y^3}$