(1) $0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3} \sin x + \cos x = \sqrt{2}$ を解け。 (2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin x - \sqrt{3} \cos x \le -1$ を解け。

1. 問題の内容

(1) $0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3} \sin x + \cos x = \sqrt{2}$ を解け。

(2) $0 \le x < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin x - \sqrt{3} \cos x \le -1$ を解け。

2. 解き方の手順

(1)

まず、左辺を合成します。$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{6})$ となります。

したがって、方程式は $2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}$ となります。

両辺を 2 で割ると $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

$x + \frac{\pi}{6} = \theta$ とおくと、$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$0 \le x < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{6} \le \theta < \frac{13\pi}{6}$ です。

$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ は $\frac{\pi}{4}$ と $\frac{3\pi}{4}$ です。さらに $\frac{\pi}{4}+2\pi = \frac{9\pi}{4}$ も条件を満たします。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}$ です。

$\theta = x + \frac{\pi}{6}$ より、$x = \theta - \frac{\pi}{6}$ です。

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

$x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$

$x = \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{27\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} = \frac{25\pi}{12}$

(2)

左辺を合成します。$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x - \frac{\pi}{3})$ となります。

したがって、不等式は $2 \sin(x - \frac{\pi}{3}) \le -1$ となります。

両辺を 2 で割ると $\sin(x - \frac{\pi}{3}) \le -\frac{1}{2}$ となります。

$x - \frac{\pi}{3} = \theta$ とおくと、$\sin \theta \le -\frac{1}{2}$ です。

$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{5\pi}{3}$ です。

$\sin \theta \le -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ は $\frac{7\pi}{6} \le \theta \le \frac{11\pi}{6}$ です。

$\theta = x - \frac{\pi}{3}$ より、$x = \theta + \frac{\pi}{3}$ です。

$\frac{7\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{3} \le \frac{11\pi}{6}$

$\frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \le x \le \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} \le x \le \frac{11\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}$

$\frac{9\pi}{6} \le x \le \frac{13\pi}{6}$

$\frac{3\pi}{2} \le x \le \frac{13\pi}{6}$

ただし、$x < 2\pi$ より $\frac{3\pi}{2} \le x < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$

(2) $\frac{3\pi}{2} \le x < 2\pi$