与えられた関数の導関数を計算し、空欄を埋める問題です。各問題は微分を実行した結果が示されており、空欄には具体的な数値や式が入るべきです。

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を計算し、空欄を埋める問題です。各問題は微分を実行した結果が示されており、空欄には具体的な数値や式が入るべきです。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

1. 微分する前の関数を確認します。

2. 与えられた導関数の形から、微分法則（商の微分、積の微分など）を推定します。

3. 推定した微分法則を用いて微分を計算します。

4. 計算結果と与えられた導関数の形を比較し、空欄に入るべき数値や式を特定します。

それでは、順番に問題を解いていきましょう。

**1.** $\displaystyle \left(\frac{3x^2+1}{x}\right)' = \frac{\text{【(1)】}x^2 - \text{【(2)】}}{x^2}$

* 関数: $f(x) = \frac{3x^2+1}{x} = 3x + \frac{1}{x}$

* 微分: $f'(x) = 3 - \frac{1}{x^2} = \frac{3x^2 - 1}{x^2}$

* したがって、【(1)】 = 3, 【(2)】 = 1

**2.** $\displaystyle \left(\frac{x^3-3x^2+3x+1}{x}\right)' = \frac{\text{【(3)】}x^{\text{【(4)】}} - \text{【(5)】}x^{\text{【(6)】}} - \text{【(7)】}}{x^2}$

* 関数: $f(x) = \frac{x^3-3x^2+3x+1}{x} = x^2 - 3x + 3 + \frac{1}{x}$

* 微分: $f'(x) = 2x - 3 - \frac{1}{x^2} = \frac{2x^3 - 3x^2 - 1}{x^2}$

* したがって、【(3)】 = 2, 【(4)】 = 3, 【(5)】 = 3, 【(6)】 = 2, 【(7)】 = 1

**3.** $\displaystyle \left(\frac{x^2-3x+1}{2x-3}\right)' = \frac{\text{【(8)】}x^2 - \text{【(9)】}x + \text{【(10)】}}{(2x-3)^2}$

* 関数: $f(x) = \frac{x^2-3x+1}{2x-3}$

* 微分（商の微分）:

$f'(x) = \frac{(2x-3)(2x-3) - (x^2-3x+1)(2)}{(2x-3)^2} = \frac{4x^2 - 12x + 9 - 2x^2 + 6x - 2}{(2x-3)^2} = \frac{2x^2 - 6x + 7}{(2x-3)^2}$

* したがって、【(8)】 = 2, 【(9)】 = 6, 【(10)】 = 7

**4.** $\displaystyle \left(\frac{2x-4}{x^2-4x+4}\right)' = -\frac{\text{【(11)】}}{(x-\text{【(12)】})^{\text{【(13)】}}}$

* 関数: $f(x) = \frac{2x-4}{x^2-4x+4} = \frac{2(x-2)}{(x-2)^2} = \frac{2}{x-2}$

* 微分: $f'(x) = -\frac{2}{(x-2)^2}$

* したがって、【(11)】 = 2, 【(12)】 = 2, 【(13)】 = 2

**5.** $\displaystyle \left(\frac{e^x}{2x+1}\right)' = \frac{e^x(\text{【(14)】}x - \text{【(15)】})}{(2x+1)^2}$

* 関数: $f(x) = \frac{e^x}{2x+1}$

* 微分（商の微分）:

$f'(x) = \frac{e^x(2x+1) - e^x(2)}{(2x+1)^2} = \frac{e^x(2x+1-2)}{(2x+1)^2} = \frac{e^x(2x-1)}{(2x+1)^2}$

* したがって、【(14)】 = 2, 【(15)】 = 1

**6.** $\displaystyle \left(\frac{\log|x|}{x^2+x}\right)' = \frac{\text{【(16)】} + x - (\text{【(17)】}x + \text{【(18)】})\log|x|}{(x^2+x)^2}$

* 関数: $f(x) = \frac{\log|x|}{x^2+x}$

* 微分（商の微分）:

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x}(x^2+x) - \log|x|(2x+1)}{(x^2+x)^2} = \frac{x+1 - (2x+1)\log|x|}{(x^2+x)^2}$

* したがって、【(16)】 = 1, 【(17)】 = 2, 【(18)】 = 1

3. 最終的な答え

*

1. 【(1)】 = 3, 【(2)】 = 1

*

2. 【(3)】 = 2, 【(4)】 = 3, 【(5)】 = 3, 【(6)】 = 2, 【(7)】 = 1

*

3. 【(8)】 = 2, 【(9)】 = 6, 【(10)】 = 7

*

4. 【(11)】 = 2, 【(12)】 = 2, 【(13)】 = 2

*

5. 【(14)】 = 2, 【(15)】 = 1

*

6. 【(16)】 = 1, 【(17)】 = 2, 【(18)】 = 1