与えられた関数の導関数を求め、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の5つの問題があります。 1. $\{-e^{-2x}\}'$

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求め、空欄を埋める問題です。具体的には、以下の5つの問題があります。

1. $\{-e^{-2x}\}'$

2. $\{(x^2+2x+1)^3\}'$

3. $\{(-3x+2)^{0.2}(-2x+3)^{0.3}\}'$

4. $f(x) = x^{0.4}(100-2x)^{0.6}$ の導関数 $f'(x)$ と、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める

5. $\{(1+(1+x)^{1.5})^{1.5}\}'$

2. 解き方の手順

1. $\{-e^{-2x}\}'$

$y = -e^{-2x}$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = -e^{-2x} \cdot (-2) = 2e^{-2x}$

したがって、 (1) = 2, (2) = -2

2. $\{(x^2+2x+1)^3\}'$

$y = (x^2+2x+1)^3 = ((x+1)^2)^3 = (x+1)^6$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = 6(x+1)^5 = 6(x+1)(x^2+2x+1)^2$

したがって、(3) = 6, (4) = 1, (5) = 2

3. $\{(-3x+2)^{0.2}(-2x+3)^{0.3}\}'$

$y = (-3x+2)^{0.2}(-2x+3)^{0.3}$ とおくと、対数を取ると

$\ln y = 0.2 \ln(-3x+2) + 0.3 \ln(-2x+3)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 0.2 \cdot \frac{-3}{-3x+2} + 0.3 \cdot \frac{-2}{-2x+3} = \frac{0.6}{(-3x+2)} + \frac{0.6}{(-2x+3)} = 0.6 \cdot \frac{(-2x+3) + (-3x+2)}{(-3x+2)(-2x+3)} = 0.6 \cdot \frac{-5x+5}{(-3x+2)(-2x+3)}$

$\frac{dy}{dx} = y \cdot 0.6 \cdot \frac{-5(x-1)}{(-3x+2)(-2x+3)} = (-3x+2)^{0.2}(-2x+3)^{0.3} \cdot 0.6 \cdot \frac{-5(x-1)}{(-3x+2)(-2x+3)} = \frac{0.6(-5)(x-1)}{(-3x+2)^{0.8}(-2x+3)^{0.7}}$

したがって、 (6) = -3, (7) = 1, (8) = 0.8, (9) = 0.7

4. $f(x) = x^{0.4}(100-2x)^{0.6}$

$f'(x) = 0.4x^{-0.6}(100-2x)^{0.6} + x^{0.4}(0.6)(100-2x)^{-0.4}(-2) = 0.4x^{-0.6}(100-2x)^{0.6} - 1.2x^{0.4}(100-2x)^{-0.4} = \frac{0.4(100-2x)^{0.6}}{x^{0.6}} - \frac{1.2x^{0.4}}{(100-2x)^{0.4}} = \frac{0.4(100-2x) - 1.2x}{x^{0.6}(100-2x)^{0.4}} = \frac{40-0.8x}{x^{0.6}(100-2x)^{0.4}} = \frac{40-2x}{x^{0.6}(100-2x)^{0.4}}$

$f'(x) = 0$ となるのは $40-2x=0$ より $x=20$

したがって、(10) = 0.4, (11) = 50, (12) = 0.6, (13) = 0.4, (14) = 20

5. $\{(1+(1+x)^{1.5})^{1.5}\}'$

$y = (1+(1+x)^{1.5})^{1.5}$ とおくと、

$\frac{dy}{dx} = 1.5 (1+(1+x)^{1.5})^{0.5} \cdot (1.5(1+x)^{0.5}) = 2.25 (1+(1+x)^{1.5})^{0.5} (1+x)^{0.5}$

したがって、(15) = 2.25, (16) = 0.5, (17) = 0.5

3. 最終的な答え

1. (1) = 2, (2) = -2

2. (3) = 6, (4) = 1, (5) = 2

3. (6) = -3, (7) = 1, (8) = 0.8, (9) = 0.7

4. (10) = 0.4, (11) = 50, (12) = 0.6, (13) = 0.4, (14) = 20

5. (15) = 2.25, (16) = 0.5, (17) = 0.5