底面の半径が2、高さが5の直円柱を、底面の直径ABを含み、底面と60度の角をなす平面で切断したとき、小さい方の立体の体積Vを求める問題です。

1. 問題の内容

底面の半径が2、高さが5の直円柱を、底面の直径ABを含み、底面と60度の角をなす平面で切断したとき、小さい方の立体の体積Vを求める問題です。

2. 解き方の手順

直円柱を切断した立体の体積は、積分を用いて求めることができます。

まず、底面の中心を原点とし、ABをx軸とします。すると、求める立体の高さは、$z = x\tan(60^\circ) = \sqrt{3}x$ と表せます。

底面の微小面積を $dA$ とすると、$dA = r dr d\theta$ となります。半径 $r$ は 0 から 2 まで動き、角度 $\theta$ は $\pi/2$ から $3\pi/2$ まで動きます。

求める体積Vは、二重積分で表すことができます。

$V = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \int_{0}^{2} \sqrt{3} (r \cos\theta) r dr d\theta$

$V = \sqrt{3} \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos\theta d\theta \int_{0}^{2} r^2 dr$

$\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos\theta d\theta = [\sin\theta]_{\pi/2}^{3\pi/2} = \sin(3\pi/2) - \sin(\pi/2) = -1 - 1 = -2$

$\int_{0}^{2} r^2 dr = [\frac{1}{3}r^3]_{0}^{2} = \frac{1}{3}(2^3 - 0^3) = \frac{8}{3}$

よって、体積Vは、

$V = \sqrt{3} \times (-2) \times \frac{8}{3} = -\frac{16\sqrt{3}}{3}$

しかし、この値は負の値であり、体積として不適切です。正しく積分範囲を設定する必要があります。

立体を底面から見て、高さは$z = |x|\tan(60^\circ) = \sqrt{3}|x|$で表されます。底面の領域は、半径2の半円です。

直交座標で積分するために、$x = r\cos\theta$とおくと、 $r$ は0から2まで動き、$\theta$は$\pi/2$から$3\pi/2$まで動きます。

$V = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \int_{0}^{2} \sqrt{3} |r\cos\theta| r dr d\theta$

ここで、$V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} z rdrd\theta$という公式を用いることが出来ます。この公式を用いて計算すると、$V = \frac{2}{3} R^3 h$ となります。

この問題の場合、R = 2, h = $2\tan(60^\circ) = 2\sqrt{3}$ となります。 よって、$V = \frac{2}{3} 2^3 (2\sqrt{3}) = \frac{32\sqrt{3}}{3}$

別の解き方として、平均の高さと底面積の積として求める方法があります。

底面積は、半径2の半円なので、$\frac{1}{2}\pi(2^2) = 2\pi$ です。

AB上の中点の高さは、0です。A,B上の高さは$\sqrt{3} * 2$ なので、平均の高さは $\frac{0 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$　ではありません。

底面の直径ABをx軸とし、ABの中点を原点とする。平面は底面と60°の角をなすので、xにおける高さは$\sqrt{3}|x|$となる。$-2 \le x \le 2$であり、y方向には$y = \sqrt{4-x^2}$となる。

$V = \int_{-2}^{2} \sqrt{3} |x| 2\sqrt{4-x^2} dx = 2\sqrt{3} \int_{0}^{2} x 2\sqrt{4-x^2} dx = 4\sqrt{3} \int_{0}^{2} x\sqrt{4-x^2} dx$

ここで、$u = 4 - x^2$とすると、$du = -2x dx$ より、$xdx = -\frac{1}{2}du$

積分範囲は、$x=0$のとき$u=4$、$x=2$のとき$u=0$なので、

$V = 4\sqrt{3} \int_{4}^{0} \sqrt{u} (-\frac{1}{2})du = -2\sqrt{3} \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2}} du = 2\sqrt{3} \int_{0}^{4} u^{\frac{1}{2}} du$

$V = 2\sqrt{3} [\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4} = 2\sqrt{3} \frac{2}{3} (4^{\frac{3}{2}} - 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{4\sqrt{3}}{3} (8) = \frac{32\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{32\sqrt{3}}{3}$