関数 $f(x) = e^x(2x + 3)$ のグラフの $x=0$ における接線を求め、指定された空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^x(2x + 3)$ のグラフの $x=0$ における接線を求め、指定された空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 接点の座標を求めます。$x=0$ を $f(x)$ に代入すると、$f(0) = e^0(2(0) + 3) = 1(0 + 3) = 3$ となります。したがって、接点の座標は $(0, 3)$ です。

(2) 導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法を用いると、

$f'(x) = (e^x)'(2x+3) + e^x(2x+3)' = e^x(2x+3) + e^x(2) = e^x(2x + 3 + 2) = e^x(2x + 5)$

となります。

(3) 接点での微分係数 $f'(0)$ を求めます。$f'(x) = e^x(2x + 5)$ に $x=0$ を代入すると、$f'(0) = e^0(2(0) + 5) = 1(0 + 5) = 5$ となります。

(4) 接線の方程式を求めます。接点の座標は $(0, 3)$ で、接線の傾きは $f'(0) = 5$ です。したがって、接線の方程式は、$y - 3 = 5(x - 0)$ より、$y = 5x + 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 0, 3

(2) 2, 5

(3) 5

(4) 5, 3

したがって、空欄を埋めると次のようになります。

1. 接点の座標は、$(x,y) = (0, 3)$

2. 導関数は、$f'(x) = e^x(2x + 5)$

3. 接点での微分係数は、$f'(0) = 5$

4. よって、求める式は $y = 5x + 3$