与えられた微分方程式 $(\sin y + x)dx + \cos y dy = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $(\sin y + x)dx + \cos y dy = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式を以下のように書き換える。

$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$

ここで、 $M(x, y) = \sin y + x$ であり、$N(x, y) = \cos y$ である。

この微分方程式が完全微分方程式であるかどうかを確かめる。つまり、$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ であるかどうかを調べる。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial (\sin y + x)}{\partial y} = \cos y$

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial (\cos y)}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$ より、この微分方程式は完全微分方程式ではない。

しかし、$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos y$ と $N = \cos y$ なので、$\frac{\partial M}{\partial y}dx + Ndy = 0$を、$y$だけ変数分離できる形となっている。

微分方程式を書き換えてみる。

$\sin y dx + x dx + \cos y dy = 0$

$\sin y dx + \cos y dy = - x dx$

左辺を$d(x \sin y)$ にしたいので、積分因子を求めることを考える。

$\frac{d}{dx} \mu(x) = \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} \mu(x) = \frac{\cos y - 0}{\cos y} \mu(x) = \mu(x)$

$\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} dx = x$

$\mu(x) = e^{\int 1 dx} = e^x$

元の式に$e^x$をかけると、

$e^x(\sin y + x)dx + e^x \cos y dy = 0$

$\frac{\partial M'}{\partial y} = e^x \cos y$

$\frac{\partial N'}{\partial x} = e^x \cos y$

$\frac{\partial M'}{\partial y} = \frac{\partial N'}{\partial x}$

$M' = e^x (\sin y + x)$

$N' = e^x \cos y$

$\int M' dx = \int e^x (\sin y + x)dx = \int e^x \sin y dx + \int xe^x dx = e^x \sin y + xe^x - e^x + g(y)$

$\int N' dy = \int e^x \cos y dy = e^x \sin y + h(x)$

$F(x, y) = e^x \sin y + xe^x - e^x = C$

$e^x \sin y + \int xe^x dx = C$

$e^x \sin y + xe^x - e^x = C$

$e^x (\sin y + x - 1) = C$

3. 最終的な答え

$e^x (\sin y + x - 1) = C$

あるいは

$\sin y + x - 1 = Ce^{-x}$