与えられた4つの極限値を計算する問題、不等式 $\sin x \ge x \cos x$ ($0 \le x \le \pi$)を証明する問題、そして関数 $f(x) = \sqrt{x+1}$ を $n=4$ としてマクローリン展開する問題です。ただし、剰余項は$R_4$として記述します。

1. 問題の内容

与えられた4つの極限値を計算する問題、不等式 $\sin x \ge x \cos x$ ($0 \le x \le \pi$)を証明する問題、そして関数 $f(x) = \sqrt{x+1}$ を $n=4$ としてマクローリン展開する問題です。ただし、剰余項は$R_4$として記述します。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} 2x}{\sin x}$ の計算

$\tan^{-1} x \approx x$ および $\sin x \approx x$ を $x \to 0$ で用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} 2x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x} = 2$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$ の計算

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ...$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - ...$

$e^x + e^{-x} - 2 = (1 + x + \frac{x^2}{2} + ...) + (1 - x + \frac{x^2}{2} - ...) - 2 = x^2 + O(x^4)$

$1 - \cos x = 1 - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - ...) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + ...$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}} = 2$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} (\tan x - \frac{1}{\cos x})$ の計算

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} (\tan x - \frac{1}{\cos x}) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} - 0} \frac{\sin x - 1}{\cos x}$

ここで、$x = \frac{\pi}{2} - h$ とおくと、$x \to \frac{\pi}{2} - 0$ のとき $h \to 0$。

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - h) - 1}{\cos(\frac{\pi}{2} - h)} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{\sin h} = \lim_{h \to 0} \frac{-\frac{h^2}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} -\frac{h}{2} = 0$

(4) $\lim_{x \to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$ の計算

$y = (\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

$\ln y = \frac{1}{x^2} \ln (\cos x)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - ...$

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - ...$

$\ln(\cos x) = \ln(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - ...) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{1}{2}(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24})^2 + ... = -\frac{x^2}{2} + O(x^4)$

$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 0} y = e^{-\frac{1}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 2

(3) 0

(4) $e^{-\frac{1}{2}}$