$\int_{1}^{64} \sqrt[6]{x} \, dx$ を計算してください。

はい、承知いたしました。与えられた積分問題を解きます。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{64} \sqrt[6]{x} \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[6]{x}$ を $x$ の指数を使って表します。

$\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$

次に、積分を実行します。不定積分は次のようになります。

$\int x^{\frac{1}{6}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{6}+1}}{\frac{1}{6}+1} + C = \frac{x^{\frac{7}{6}}}{\frac{7}{6}} + C = \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C$

定積分を計算するために、積分区間の上限と下限を代入します。

$\int_{1}^{64} x^{\frac{1}{6}} \, dx = \left[ \frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} \right]_{1}^{64} = \frac{6}{7} (64^{\frac{7}{6}}) - \frac{6}{7} (1^{\frac{7}{6}})$

$64^{\frac{7}{6}} = (64^{\frac{1}{6}})^7 = (2)^7 = 128$

$1^{\frac{7}{6}} = 1$

したがって、

$\int_{1}^{64} \sqrt[6]{x} \, dx = \frac{6}{7} (128) - \frac{6}{7} (1) = \frac{6}{7} (128 - 1) = \frac{6}{7} (127) = \frac{762}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{762}{7}$