与えられた定積分 $\int_1^{64} \sqrt[3]{x} \, dx$ を計算し、その結果を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_1^{64} \sqrt[3]{x} \, dx$ を計算し、その結果を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ と書き換えます。次に、積分を実行します。

$\int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

したがって、定積分は以下のようになります。

$\int_1^{64} x^{\frac{1}{3}} dx = \left[ \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \right]_1^{64} = \frac{3}{4} (64^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} (1^{\frac{4}{3}})$

$64^{\frac{4}{3}}$ を計算します。$64 = 4^3$ であるから、$64^{\frac{4}{3}} = (4^3)^{\frac{4}{3}} = 4^{3 \cdot \frac{4}{3}} = 4^4 = 256$

したがって、

$\frac{3}{4} (64^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} (1^{\frac{4}{3}}) = \frac{3}{4} (256) - \frac{3}{4} (1) = \frac{3}{4} (256 - 1) = \frac{3}{4} (255) = \frac{765}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{765}{4}$