$0 \le x \le \pi$ の範囲において、不等式 $\sin x \ge x \cos x$ を証明します。

## 問題2

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ の範囲において、不等式 $\sin x \ge x \cos x$ を証明します。

2. 解き方の手順

$f(x) = \sin x - x \cos x$ と定義します。

このとき、$f(x) \ge 0$ を示すことが目標となります。

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = \sin 0 - 0 \cdot \cos 0 = 0 - 0 = 0$

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \cos x - (\cos x - x \sin x) = x \sin x$

$0 \le x \le \pi$ において、$\sin x \ge 0$ であるため、$f'(x) = x \sin x \ge 0$ となります。

したがって、$f(x)$ は $0 \le x \le \pi$ の範囲で単調増加関数です。

$f(0) = 0$ であり、$f'(x) \ge 0$ なので、$f(x) \ge 0$ が成り立ちます。

すなわち、$\sin x - x \cos x \ge 0$ より、$\sin x \ge x \cos x$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$\sin x \ge x \cos x$ ($0 \le x \le \pi$) が証明されました。

## 問題3

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \sqrt{x+1}$ を $n=4$ としてマクローリン展開します。ただし、剰余項は $R_4$ として記述します。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、テイラー展開において中心 $a=0$ とした場合です。

$f(x)$ のマクローリン展開は、以下の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + R_4$

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f(x) = (x+1)^{\frac{1}{2}}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(x+1)^{-\frac{3}{2}}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(x+1)^{-\frac{5}{2}}$

$f''''(x) = -\frac{15}{16}(x+1)^{-\frac{7}{2}}$

次に、それぞれの導関数に $x=0$ を代入します。

$f(0) = \sqrt{0+1} = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}(0+1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

$f''(0) = -\frac{1}{4}(0+1)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4}$

$f'''(0) = \frac{3}{8}(0+1)^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8}$

$f''''(0) = -\frac{15}{16}(0+1)^{-\frac{7}{2}} = -\frac{15}{16}$

これらの値をマクローリン展開の式に代入します。

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{-\frac{1}{4}}{2!}x^2 + \frac{\frac{3}{8}}{3!}x^3 + \frac{-\frac{15}{16}}{4!}x^4 + R_4$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + R_4$

3. 最終的な答え

$f(x) = \sqrt{x+1} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + R_4$