与えられた積分を計算します。 積分は $\int x(2x+9)^{-\frac{5}{4}} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

積分は $\int x(2x+9)^{-\frac{5}{4}} dx$ です。

2. 解き方の手順

この積分を計算するために、部分積分を使用します。

$u = x$ と $dv = (2x+9)^{-\frac{5}{4}}dx$ を選びます。

すると、$du = dx$ となります。

$v$ を求めるには、$\int (2x+9)^{-\frac{5}{4}}dx$ を計算します。

$w = 2x+9$ とすると、$dw = 2dx$, つまり $dx = \frac{1}{2}dw$ です。

したがって、$\int (2x+9)^{-\frac{5}{4}}dx = \int w^{-\frac{5}{4}} \frac{1}{2}dw = \frac{1}{2} \int w^{-\frac{5}{4}} dw = \frac{1}{2} \frac{w^{-\frac{1}{4}}}{-\frac{1}{4}} = -2w^{-\frac{1}{4}} = -2(2x+9)^{-\frac{1}{4}}$ となります。

したがって、$v = -2(2x+9)^{-\frac{1}{4}}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を使用します。

$\int x(2x+9)^{-\frac{5}{4}} dx = x(-2(2x+9)^{-\frac{1}{4}}) - \int -2(2x+9)^{-\frac{1}{4}} dx = -2x(2x+9)^{-\frac{1}{4}} + 2 \int (2x+9)^{-\frac{1}{4}} dx$

次に、$\int (2x+9)^{-\frac{1}{4}} dx$ を計算します。

$w = 2x+9$ とすると、$dw = 2dx$, つまり $dx = \frac{1}{2}dw$ です。

したがって、$\int (2x+9)^{-\frac{1}{4}}dx = \int w^{-\frac{1}{4}} \frac{1}{2}dw = \frac{1}{2} \int w^{-\frac{1}{4}} dw = \frac{1}{2} \frac{w^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3}w^{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3}(2x+9)^{\frac{3}{4}}$ となります。

したがって、$\int x(2x+9)^{-\frac{5}{4}} dx = -2x(2x+9)^{-\frac{1}{4}} + 2 (\frac{2}{3}(2x+9)^{\frac{3}{4}}) + C = -2x(2x+9)^{-\frac{1}{4}} + \frac{4}{3}(2x+9)^{\frac{3}{4}} + C$ となります。

共通因子 $(2x+9)^{-\frac{1}{4}}$ でくくります。

$\int x(2x+9)^{-\frac{5}{4}} dx = (2x+9)^{-\frac{1}{4}} (-2x + \frac{4}{3}(2x+9)) + C = (2x+9)^{-\frac{1}{4}} (-2x + \frac{8}{3}x + 12) + C = (2x+9)^{-\frac{1}{4}} (\frac{2}{3}x + 12) + C = \frac{2x+36}{3(2x+9)^{\frac{1}{4}}} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2x+36}{3(2x+9)^{\frac{1}{4}}} + C$