与えられた積分を計算します。 $\int \frac{x}{(x^2 + 1)^3} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{x}{(x^2 + 1)^3} dx$

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

$u = x^2 + 1$ とおくと、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

これらを元の積分に代入すると、

$\int \frac{x}{(x^2 + 1)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-3} du$

積分を実行すると、

$\frac{1}{2} \int u^{-3} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4} u^{-2} + C = -\frac{1}{4u^2} + C$

$u = x^2 + 1$ を代入して、

$-\frac{1}{4(x^2 + 1)^2} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4(x^2 + 1)^2} + C$