関数 $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x + 2y + 2$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x + 2y + 2$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、偏微分を計算します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y - 3$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x + 2y + 2$

(2) 次に、連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解いて、停留点を求めます。

$2x + y - 3 = 0$

$x + 2y + 2 = 0$

この連立方程式を解くために、例えば、下の式を2倍して上の式から引くと、

$(2x + y - 3) - 2(x + 2y + 2) = 0$

$2x + y - 3 - 2x - 4y - 4 = 0$

$-3y - 7 = 0$

$y = -\frac{7}{3}$

$y = -\frac{7}{3}$ を $x + 2y + 2 = 0$ に代入すると、

$x + 2(-\frac{7}{3}) + 2 = 0$

$x - \frac{14}{3} + \frac{6}{3} = 0$

$x - \frac{8}{3} = 0$

$x = \frac{8}{3}$

したがって、停留点は $(\frac{8}{3}, -\frac{7}{3})$ です。

(3) 次に、ヘッセ行列を計算します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1$

$f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 1$

ヘッセ行列は

$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

(4) ヘッセ行列の行列式を計算します。

$\det(H) = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2 \cdot 2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

(5) 停留点 $(\frac{8}{3}, -\frac{7}{3})$ におけるヘッセ行列の行列式は $\det(H) = 3 > 0$ であり、$f_{xx} = 2 > 0$ であるから、この停留点は極小値を与える点です。

(6) 極小値を計算します。

$f(\frac{8}{3}, -\frac{7}{3}) = (\frac{8}{3})^2 + (\frac{8}{3})(-\frac{7}{3}) + (-\frac{7}{3})^2 - 3(\frac{8}{3}) + 2(-\frac{7}{3}) + 2$

$= \frac{64}{9} - \frac{56}{9} + \frac{49}{9} - \frac{24}{3} - \frac{14}{3} + \frac{6}{3}$

$= \frac{64 - 56 + 49}{9} - \frac{24 + 14 - 6}{3}$

$= \frac{57}{9} - \frac{32}{3}$

$= \frac{19}{3} - \frac{32}{3}$

$= -\frac{13}{3}$

3. 最終的な答え

極小値: $f(\frac{8}{3}, -\frac{7}{3}) = -\frac{13}{3}$