次の5つの文章が正しいかどうか判定し、正しければ○、誤りを含んでいれば×と答えます。 (1) $(\frac{1}{\pi})^3 < (\frac{1}{\pi})^2$ が成り立つか。 (2) $\frac{d}{dx} 2^x = \frac{2^x}{\log 2}$ であるか。 (3) 点(2, 4)における曲線 $x^3 + y^3 - 9xy = 0$ の接線の傾きは$\frac{4}{3}$であるか。 (4) 2変数関数fが点(0, 0)で偏微分可能ならば、fは点(0, 0)で全微分可能であるか。 (5) $C^{\infty}$級関数fが$f(x, y) = 1 + 2x + 3y + 4x^2 + 5xy + 6y^2 + o(x^2 + y^2) ((x, y) \to (0, 0))$ を満たすとき、$f_{xy}(0, 0) = 5$であるか。

1. 問題の内容

次の5つの文章が正しいかどうか判定し、正しければ○、誤りを含んでいれば×と答えます。

(1) $(\frac{1}{\pi})^3 < (\frac{1}{\pi})^2$ が成り立つか。

(2) $\frac{d}{dx} 2^x = \frac{2^x}{\log 2}$ であるか。

(3) 点(2, 4)における曲線 $x^3 + y^3 - 9xy = 0$ の接線の傾きは$\frac{4}{3}$であるか。

(4) 2変数関数fが点(0, 0)で偏微分可能ならば、fは点(0, 0)で全微分可能であるか。

(5) $C^{\infty}$級関数fが$f(x, y) = 1 + 2x + 3y + 4x^2 + 5xy + 6y^2 + o(x^2 + y^2) ((x, y) \to (0, 0))$ を満たすとき、$f_{xy}(0, 0) = 5$であるか。

2. 解き方の手順

(1) $(\frac{1}{\pi})^3 < (\frac{1}{\pi})^2$ の判定

$\frac{1}{\pi}$ は1より小さい正の数である。したがって、$(\frac{1}{\pi})^3 < (\frac{1}{\pi})^2$ は正しい。

(2) $\frac{d}{dx} 2^x = \frac{2^x}{\log 2}$ の判定

$a^x$ の微分は $\frac{d}{dx}a^x = a^x \log a$である。したがって、$\frac{d}{dx} 2^x = 2^x \log 2$となる。よって、$\frac{d}{dx} 2^x = \frac{2^x}{\log 2}$は誤りである。

(3) 点(2, 4)における曲線 $x^3 + y^3 - 9xy = 0$ の接線の傾きが$\frac{4}{3}$であるかの判定

陰関数の微分を行う。

$x^3 + y^3 - 9xy = 0$ を $x$ で微分すると、

$3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} - 9y - 9x \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 9x) = 9y - 3x^2$

$\frac{dy}{dx} = \frac{9y - 3x^2}{3y^2 - 9x} = \frac{3y - x^2}{y^2 - 3x}$

点(2, 4)における傾きは

$\frac{dy}{dx}|_{(2, 4)} = \frac{3(4) - 2^2}{4^2 - 3(2)} = \frac{12 - 4}{16 - 6} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$\frac{4}{3}$ ではないので誤りである。

(4) 2変数関数fが点(0, 0)で偏微分可能ならば、fは点(0, 0)で全微分可能であるかの判定

一般に、偏微分可能であっても全微分可能とは限らない。したがって、誤りである。

(5) $C^{\infty}$級関数fが$f(x, y) = 1 + 2x + 3y + 4x^2 + 5xy + 6y^2 + o(x^2 + y^2) ((x, y) \to (0, 0))$ を満たすとき、$f_{xy}(0, 0) = 5$であるかの判定

$f(x, y) = 1 + 2x + 3y + 4x^2 + 5xy + 6y^2 + o(x^2 + y^2)$

$f_x(x, y) = 2 + 8x + 5y + o(x, y)$

$f_{xy}(x, y) = 5$

したがって、$f_{xy}(0, 0) = 5$である。

3. 最終的な答え

(1) ○

(2) ×

(3) ×

(4) ×

(5) ○